Chapitres
- 01. I. Les triangles
- 02. II. Parallélogramme
- 03. III. Angles et cercle
- 04. IV. Symétries
Configurations, transformations, repérage
I. Les triangles
1) Les droites remarquables
a) Médiatrice :
Définition : On appelle médiatrice d'un segment, la droite qui est perpendiculaire à un côté et qui le coupe en son milieu.
Propriété 1 : Les médiatrices des côtés d'un triangle ABC sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Alors OA=OB=OC.
Propriété 2 : Tout point M situé sur la médiatrice de BC est équivalent de B et C.
b) Hauteur :
Définition : Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par le sommet opposé et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Propriété : Les hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle ABC.
c) Médiane :
Définition : Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par le milieu du côté et le sommet opposé.
Propriété : Les médianes d'un triangle ABC sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle ABC. Alors AG=2/3AA' ; BG=2/3BB' ; CG=2/3CC'
d) Bissectrice :
Définition : On appelle bissectrice d'un angle, la droite qui partage un angle en 2 angles égaux.
Propriété : Les bissectrices des angles d'un triangle ABC sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit.
2) Triangle rectangle
Propriétés 1 :
a) Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC²=AB²+AC² (Pythagore)
b) Si un triangle ABC est rectangle en A, alors l'hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC
c) Si un triangle ABC est rectangle en A, et I le milieu de [BC] alors la médiane IA mesure la moitié de l'hypoténuse AI=BC/2
Propriétés 2 (réciproque) :
a) Si BC²=AC²+AB² alors ABC est un triangle rectangle en A (Réciproque de Pythagore)
b) Si Abc est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre BC, alors ABC est rectangle en A.
c) Si I est le milieu du côté [BC] du triangle ABC et si AI = BC/2 alors ABC est rectangle en A
II. Parallélogramme
1) Propriétés
Si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme alors :
(1) Ses diagonales se coupent en leur milieu
(2) Ses côtés opposés sont parallèles 2 à 2
(3) Ses côtés opposés sont de même longueur 2 à 2
(4) Ses angles opposés sont égaux et la somme de deux angles consécutifs vaut 180°
2) Parallélogrammes particuliers
Un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueur ou ses diagonales perpendiculaires est un losange.
Un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs perpendiculaires ou ses diagonales de même longueur est un rectangle.
Un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueur, 2 côtés consécutifs perpendiculaires, ses diagonales perpendiculaires et ses diagonales de même longueur est un carré.
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III. Angles et cercle
Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre associé : AMB=1/2AOB
Dans un cercle, deux angles inscrits qui coupent (interceptent) le même arc AB sont égaux : AMB=ANB
IV. Symétries
a) Symétrie centrale de centre I :
M' l'image de M par la symétrie de centre I est tel que I soit le milieu de [MM']
Remarque : Seul I est invariant par cette symétrie centrale.
Exemple : Un parallélogramme a pour centre de symétrie le point d'intersection de ses diagonales.
b) Symétrie axiale d'axe µ
Si M n'appartient pas à µ alors µ est médiatrice de MM'
Si M appartient à µ alors M=M' : tous les points de µ sont invariants.
Exemple : Un rectangle a 2 axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés)
Un losange a 2 axes de symétrie (ses diagonales)
c) Propriétés :
Les symétries conservent :
- Les distances (A'B'=AB) = isométrie
- Les mesures d'angles géométriques
- Les aires
- Le contact (l'image de l'intersection de deux droites, est l'intersection des droites images)
- L'alignement
- Le parallélisme
- L'orthogonalité
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