Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
Chris
5
5 (483 avis)
Chris
96€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (94 avis)
Anis
49€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (174 avis)
Houssem
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
4,5
4,5 (109 avis)
Laurent
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (36 avis)
Sébastien
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Gaël
5
5 (64 avis)
Gaël
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (334 avis)
Greg
140€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
5
5 (103 avis)
Laurent
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Chris
5
5 (483 avis)
Chris
96€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (94 avis)
Anis
49€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (174 avis)
Houssem
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
4,5
4,5 (109 avis)
Laurent
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (36 avis)
Sébastien
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Gaël
5
5 (64 avis)
Gaël
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (334 avis)
Greg
140€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
5
5 (103 avis)
Laurent
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
C'est parti

Introduction

Comme le rotationnel, le divergent ou encore le gradient, le laplacien est un opérateur mathématique qui permet de comprendre et d'étudier de nombreux domaines physiques comme l'électromagnétisme ou la mécanique des fluides.

Le laplacien scalaire

Qu'est ce que le laplacien ?
Commençons par définir le laplacien, et plus précisément le laplacien scalaire.

L'opérateur laplacien est un opérateur différentiel qui associe à un champ scalaire la divergence de son gradient. Ainsi, cet opérateur renvoie un autre champ scalaire.

On le note : où phi est un champ scalaire.

On a

On peut également définir le laplacien comme l'opérateur nabla appliqué deux fois au champ.

Le laplacien d’une fonction mesure la différence entre la valeur de la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. C'est un opérateur de moyennage.

De cette façon, le laplacien est nul lorsque la moyenne autour d'un point vaut la valeur en ce point. Dans ce cas, on dit que la fonction est harmonique.

Le laplacien est un opérateur qui est linéaire et qui vérifie la règle de Leibniz pour un opérateur différentiel d'ordre deux.

On peut définir le laplacien en coordonnées cartésiennes. Soit f un fonction C² sur un ouvert de on définit le laplacien par

A\vec une dimension, le laplacien d’un champ scalaire f(x) en un point est égal à la dérivée seconde du champ scalaire f(x) par rapport à la variable x en ce point. De cette façon, le laplacien indique la concavité.

La plupart du temps on se placera dans les cas bidimensionnel ou tridimensionnel.

En physique, seules les expressions en cartésiennes sont exigibles, un formulaire sera fourni pour les autres systèmes de coordonnées. Regardons malgré tout ce que cela nous donne.

Tout d'abord, regardons le cas bidimensionnel.

Soit f(x,y) le champ. On a pour coordonnées cartésiennes de paramètre (x, y, z)

Pour les coordonnées polaires de paramètres ( on a

Passons au cas tridimensionnel.

Comment utiliser le laplacien dans d'autres systèmes de coordonnées ?
Il existe beaucoup de systèmes de coordonnées différents, on les utilise souvent pour simplifier les calculs quand c'est nécessaire. Regardons différents exemples.

Soit f(x,y,z) le champ. Les coordonnées cartésiennes de paramètres (x, y, z) nous donne

A\vec les coordonnées cylindriques ayant pour paramètres (x=r cosθ, y=r sinθ, z), on obtient

Enfin, pour les coordonnées sphériques de paramètres (x=r sinθ cosΦ, sinθ sinΦ, r cosθ), cela nous donne

Le laplacien vectoriel

Qu'est ce que le laplacien \vectoriel ?
Passons maintenant à la deuxième partie de notre étude : le laplacien vectoriel.

Le laplacien vectoriel est un opérateur différentiel qui s'applique à un champ vectoriel et qui renvoie un champ vectoriel.

Soit un champ vectoriel. On note son laplacien

Il est définit par la relation

Dans un espace euclidien, on définit le plus souvent le laplacien vectoriel en utilisant des coordonnées cartésiennes.

Cela donne dans

Dans un espace à trois dimensions, on a

Où trouver des cours de maths pour réviser avant une épreuve ?

Applications en physique

Comment utiliser le laplacien de physique ?
Bien que ce soit un opérateur à propriétés mathématiques, la laplacien a été inventé pour son utilité dans le domaine de la physique. Regardons ses différentes apparitions.
  • Équation de Laplace

L'équation de Laplace consiste à résoudre où V est un potentiel.

L'ensemble des fonctions vérifiant l'équation de Laplace sont dites harmoniques.

On retrouve cette équation notamment en thermodynamique, en électrostatique ou encore en mécanique des fluides.

Intéressons nous par exemple au cas de l'électrostatique. En se plaçant dans un espace de densité volumique de charge nulle, l'équation de Maxwell-Gauss devient En remplaçant par son expression en fonction du potentiel électrique V, on obtient finalement qui correspond bien à l'équation de Laplace.

Si la densité de charge n'est pas nulle, nous n'obtenons pas l'équation de Laplace mais celle de Poisson, également définie grâce au laplacien :

  • Équation de conservation

On retrouve le laplacien dans des équations de conservation. Il y apparait comme la divergence d’un flux. En effet, le flux est proportionnel au gradient d’une variable. C’est le cas par exemple dans l’équation de la chaleur :

où T est la température, λ est la conductivité thermique, cv est la capacité thermique massique à volume constant, ρ est la masse volumique, p est la puissance volumique dégagée.

  • Équation d'onde

L'équation d'onde modélise la propagation d'une onde. Dans un milieu sans charge ni courant, où est un champ vectoriel, on a l'équation où c est la célérité et t le temps.

Si E est un champ vectoriel, en s'intéressant à chacune des composantes de , on obtient une équation sur un scalaire, appelé équation de d'Alembert :

  • Équations de Navier-Stokes

En mécanique des fluides, on retrouve le laplacien dans différents cas. En effet, en étudiant les fluides newtoniens incompressibles, on utilise le laplacien.

Lorsque l'écoulement est irrotationnel, il existe une fonction Φ appelé le potentiel des vitesses telle que De cette façon,

Pour un écoulement quelconque que l'on cherche à étudier, on utilise l'équation de Navier-Stokes qui utilise cette fois ci le laplacien des vitesses.

 

Vous avez aimé cet article ? Notez-le !

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 5,00 (2 note(s))
Loading...

Elise

Freelancer, superprof et étudiante en mathématiques, je souhaite partager et étendre mes connaissances grâce à vous !