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Rappel

Le laplacien vectoriel et sa formule
Ensemble des calculs du laplacien vectoriel (source : fracademic)

Pour rappel, en coordonnées scalaires, on définit les éléments suivants : gradient, divergence, rotationnel et Laplacien. Ces opérateurs sont construits à partir de l'opérateur Nabla noté On définit ainsi le gradient appliqué à un champ scalaire : Lorsqu'on effectue le produit scalaire entre l'opérateur nabla et un champ vectoriel, on obtient la divergence en un champ scalaire : Lorsqu'on effectue le produit vectoriel entre l'opérateur nabla et un champ vectoriel, on obtient le rotationnel : Enfin, il existe le laplacien scalaire et le laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire est l'application au champ scalaire du carré : Le laplacien vectoriel est l'application du laplacien scalaire à chacune des composantes du champ vectoriel : On peut résumer grossièrement l'ensemble des calculs du laplacien vectoriel dans l'image ci-dessous.   Par ailleurs, en coordonnées cylindriques, l'ensemble de ces calculs diffèrent. On peut résumer l'ensemble des éléments de calcul, à savoir la divergence, lien le gradient, le rotationnel et le laplacien dans l'image ci-dessous.

Comment calculer les valeurs de coordonnées cylindriques ?
Ensemble des formules en coordonnées cylindriques

Théorème de flux divergence

Le théorème de flux divergence également appelé le théorème de Green-Ostrogradski est un théorème mettant en évidence le lien entre l'intégrale de la divergence et le flux du champ : avec V étant le volume étant la frontière du volume étant le vecteur normal à la surface est dérivable en tout point du volume est l'opérateur nabla.

Comment représenter le théorème de flux divergence ?
Représentation graphique du théorème de flux divergence

 

Exercices corrigés

Exercice

Exercice 1 :  Calcul de gradient et divergence Pour chacune des coordonnées suivantes, déterminer les coordonnées du gradient de f où f est le champ scalaire suivant :

Pour chacune des coordonnées suivantes, déterminer la divergence de f où f est le champ scalaire suivant :

Exercice 2 :  Calcul du rotationnel On sait qu'un champ de vecteur F dérive d'un potentiel scalaire s'il existe un champ scalaire f tel que F = grad(f). Démontrer que le champ suivant possède un rotationnel nul : défini sur

Comment prendre des cours de math ?

Corrigés

Exercice 1: 1. On calcul la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient :

D'où   2. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient :

D'où   3. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient :

D'où   4. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient :

D'où   5. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient :

D'où   1'. On détermine la divergence de f :

D'où   2'. On détermine la divergence de f :

D'où   3'. On détermine la divergence de f :

D'où   4'. On détermine la divergence de f :

D'où   5'. On détermine la divergence de f :

D'où

Exercice 2 : Pour f de dans R, on a : ,

et . On en déduit les valeurs de f en intégrant chacune des dérivées partielles : Les valeurs de h(y,z), h(x,z),  h(x,y) sont des constantes. Pour chacune des dérivées partielles, les variables des autres valeurs sont par conséquent des constantes. Maintenant que l'on a calculé les intégrales des dérivées partielles, on peut calculer le rotationnel :

Le rotation de F est donc nul.

La formule pour comprendre le rotationnel
Formule de physique du rotationnel (source : wikipedia)

A noter que le calcul du rotationnel est très utilisé en physique notamment pour calculer la valeur des champs électromagnétiques.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.