Chapitres
Limite en l'infini
Limite finie
Définition
Soit L un réel, dire que \lim f(x) = L
x~> +∞
Signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les f(x), il suffit de choisir x suffisamment grand.
Définition
Lorsque \lim f(x) = L, alors la droite d'équation y=L
x~>+∞
est asymptote à la courbe au voisinage de +∞.
Définition
Soit L un réel, dire que \lim f(x) = L
x~>-∞
Signifie que tout intervalle ouvert contenant L, contient tous les f(x), il s'agit de choisir (-x) suffisamment grand .
Limite infinie
Définition
Soit B un réel, dire que \lim f(x) = +∞
x~>+∞
Signifie que tout intervalle de la forme ]B;+∞[ contient tous les f(x) , il suffit de choisir x suffisamment grand.
Définition
Soit d la droite d'équation y=ax+b (a ≠ 0)
Si \lim (f(x)-(ax+b))=0
x~>+∞
-∞
Alors la droite d est asymptote oblique à Cf au voisinage de +∞
-∞
Attention ! :Une fonction ayant une \lim infinie en l'infini n'implique pas nécessairement une asymptote oblique.
~> exemple : f(x)=x²
Limite quand x~>a
Limite infinie
Définition
Dire que \lim f(x) = +∞
x~>a
Signifie que tout intervalle de la forme ]B;+∞[ avec B réel, contient tous les f(x), il suffit de choisir x suffisamment proche de a.
Définition
Si \lim f(x) = +∞ alors la droite d'équation x=a est une asymptote
x~>a à Cf.
Limite finie
Définition
Dire que \lim f(x) = l, ou l est un réel,
x~>a
Signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les f (x), il suffit de choisir x suffisamment proche de a.
Quelques exemples de fonctions ici.
Méthodes pour lever des indeterminations.
Limites des fonctions composées
ThéorèmeSoient f,g et h trois fonctions :
La fonction f composée de deux fonctions,
f : x |~~>g(x)
X|~~>h(X)
f = h o g (se lit "h rond g")
Si lim g(x) = b et lim h(x) = c
x~>a x~>b
Alors lim f(x) = c
x~>a
Un exemple :
f(x) = √(x²+x-2), au voisinage de -∞
f est la composée : x|~~>x²+x-2
X|~~>√X
lim x²+x-2 = +∞ (car \lim x² = +∞)
x~>-∞ x~>-∞
et \lim √x = +∞
x~>+∞
Donc par limite des fonctions composées, \lim f(x) = +∞
x~>-∞
Théorème de comparaison
Théorème des gendarmes
Soient f, g et h des fonctions définies sur ]b ; +∞[ avec b un réel.
Soit L un réel,
Si pour tout x appartenant à l'intervalle ]b ; +∞[ ,
g(x)<= f(x) <= h(x)
et \lim g(x) = L
x~>+∞
et \lim h(x) = L
x~>+∞
Alors \lim f(x) = L
x~>+∞
Théorème valeur absolue
Soit f une fonction, définie sur ]b ; +∞[ avec b un réel.
Soit L un réel, soit g une fonction définie sur ]b ; +∞[
Si x > b, |f(x) - L| <= g(x)
et lim g(x) = 0
x~>+∞
alors lim f(x) = L
x~>+∞
Théorème de minoration, majoration
-Soit f, g deux fonction définies sur ] b ; +∞ [, avec b un réel
Si pour x>b, f(x) >= g(x)
et lim g(x) = +∞
x~>+∞
Alors lim f(x) = +∞
x~>+∞
-Si pour x>b, f(x)<=g(x) et \lim g(x) = -∞
x~>+∞
Alors \lim f(x) = -∞
x~>+∞
Continuité
Définition : Soit a un réel.
Soit f une fonction définie en a .
F est continue en a si et seulement si lim f(x) = f(a)
x~>a
Théorème
Soit f une fonction définie en a.
Si f est dérivable en un réel a, alors f est continue en a.
f défini en a donc f(a) existe.
f dérivable en a : f(x) - f(a) a une limite finie quand x~>a
x-a
f(a+h)-f(a) a une limite finie quand h~>0
h
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b], continue sur [a ; b]
Alors quelque soit le réel k compris entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un réel c qui appartient à [a ; b], tel que f(c) = k
Théorème de bijection
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b], continue sur [a ; b], strictement monotone sur [a ; b].
Alors quelque doit le réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c qui appartient [a ; b], tel que f(c)=k
Remarque : Les intervalles peuvent avoir des bornes infinies (cours de mathématiques).
Remarque admise : Lorsqu'une fonction est continue, l'image d'un intervalle est un intervalle.
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