Chapitres
Celui qui croit à une croissance exponentielle infinie dans un monde fini est soit un fou, soit un économiste.
Kenneth Boulding
Dans le programme de Terminale, la fonction exponentielle est une notion qui s'impose comme un outil mathématique dont les contours sont parfois complexes à saisir. Pourtant, lorsqu'on le maîtrise, ce dernier est passionnant !
Pour réussir à la comprendre, puis à la dériver, il faut d'abord réussir à maîtriser ses propriétés, mais aussi le théorème de base, sur lequel elle repose.
La recherche sur la fonction exponentielle a abouti au
siècle !
Pour commencer, il faut savoir qu'une fonction exponentielle incarne, comme son nom l'indique, une valeur qui augmente au fur et à mesure. Si on la matérialise par une courbe, elle sera donc de plus en plus haute à mesure qu'elle avance, à l'image d'une croissance.
On peut parler de quelque chose d"exponentiel" dans bon nombre de domaines, de l'informatique, en passant par la sociologie, et même la médecine : une épidémie exponentielle, par exemple.
Voici donc tout ce qu'il faut savoir sur cette fonction importante en mathématiques !
| Concept | Définition |
|---|---|
| Forme générale | f(x) = a * b^x (avec a et b constants) |
| Exponentielle naturelle | f(x) = e^x (avec e ≈ 2.71828) |
| Dérivée de e^x | d/dx(e^x) = e^x |
| Croissance exponentielle | b > 1 : Croissance rapide |
| Décroissance exponentielle | 0 < b < 1 : Décroissance rapide |
| Équation exponentielle | Résolue avec des logarithmes. Par ex. ln(a * b^x) = ln(c) |
| Fonction inverse | Le logarithme est l'inverse de l'exponentielle : log_b(b^x) = x |
La fonction exponentielle : définition 🔎
S'il est difficile de donner une définition exacte de la fonction exponentielle (notée "exp"), on pourrait partir de son théorème, selon lequel : il existe une seule fonction f dérivables sur R telle que : f'(x) = f(x) et f(0) = 1.
La fonction exponentielle est donc la seule fonction qui ait pour dérivée… elle-même !
En conséquence, elle prend la valeur 1 à 0 : exp(0) = 1.
De plus, elle est strictement positive, et croissante pour tout x réel.
La fonction exponentielle : démonstrations ✏️
📝 Théorème
Soit b un réel.
Pour tout x appartenant à R, exp(x+b)=exp(x) * exp(b).
🖍 Démonstration
L’exp étant toujours différente de 0, on démontre que :
- Pour tout x appartenant à R, exp(x+b) / exp(x)
- G est dérivable sur R par g(x)=exp(x+b)/exp(x)
- G dérivable comme quotient de :
- X|-> exp(x+b), composée de fonctions dérivable sur R.
Et
- X|-> exp(x), dérivable sur R, non nulle sur R
Donc :
- G’(x) = (1*exp(x+b) * exp(x) - exp(x+b) * exp(x) ) / (exp(x))² = 0
Donc c’est une fonction constante sur R.
- Or g(0) = exp(b) / exp(0) = exp(b)
Donc pour tout x appartenant à R : g(x)=exp(b).
📝 Théorème
Soit b appartenant à R.
Pour tout x appartenant à R, exp(x-b) = exp(x) / exp(b)
🖍 Démonstration
Pour tout x appartenant à R : exp(x-b) = exp(x+(-b))
- =exp(x)*exp(-b) (d’après le théorème précédent).
- =exp(x) * 1/exp(b) (d’après exp(-x)=1/exp(x)).
📝 Théorème
Pour tout x appartenant à R, et pour tout n appartenant à N.
Exp(nx) = (expx)n
Fonction exponentielle : pour n appartenant à N 📒
On utilise la récurrence,
- Initialisation à n=0 :
(expx)0 = 1 (expx différent de 0)
(exp0*x)=exp0=1
- Hérédité :
On suppose que pour un entier naturel n >= 0, (expx)n = exp(nx)
On démontre que :
- (expx)n+1 = exp((n+1)x)
On a : (expx)n+1 = (expx)n * (expx)
- =exp(nx) * expx
- =exp(nx+x)
- =exp((n+1)x)
Conclusion
Pour tout n appartenant à N, et pour tout x appartenant à R : (expx)n = exp(nx)
Fonction exponentielle : pour n appartenant à Z, et n’appartenant pas à N 📓
On pose n =-p, alors p appartient à N*
- (expx)n = (expx)-p
- =1 / ((expx)p
- =1 / exp(px)
- =exp(-x) (propriété de l’exponentielle : exp(-x) = 1 /exp(x))
- =exp(nx)
Donc, avec 1) et 2), on a :
Pour tout n appartenant à Z, et pour tout x appartenant à R, (expx)n = exp(nx).
🔎 Définition
L’image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre e.
Le nombre e est également appelé nombre d'Euler ou constante de Néper (en références aux mathématiciens) est un nombre irrationnel, qui équivaut à environ 2,7182818284 5904523536… En parallèle, on le qualifie de nombre transcendant : il n'est la solution d'aucune équation à coefficients entiers.
- Exp(1)=e (e vaut environ 2,718)
- (expx)n = exp(nx)
Donc en particulier pour x = 1 : (exp1)n = exp(n)
- en = exp(n)
On étend cette notation au réel, on écrira ex au lieu de exp(x). Ce qui donne avec cette notation :
e0 = 1
ea+b=ea+eb
(ex)’=ex
ea-b=ea/eb
e-x=1/ex
(ex)n=enx
e1=e
- Pour tout x appartenant à R, ex est différent de 0.
- Pour tout x appartenant à R, ex > 0
À présent, vous voici davantage parés à réussir votre année. La fonction exponentielle n'attend plus que vous pour briller en maths !
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