Chapitre 5 : (3) FONCTION EXPONENTIELLE : LA FONCTION EXPONENTIELLE

La fonction exponentielle

3]Fonction : x|---> e^x.

x|---> e^x définie, dérivable sur R, et (e^x)’ = e^x

Or pour tout x appartenant à R, e^x > 0,

Donc x|---> e^x est strictement croissante sur R.

Limite au voisinage de +∞ :

Démontrer que : pour tout x appartenant à [0 ; +∞[, e^x >x

Ce qui équivaut à démontrer que :

Pour tout x appartenant à [0 ; +∞[, e^x-x>0

Soit f définie sur R⁺ par f(x)=e^x-x

f’(x) = e^x-1

f’(x)=0 <=> e^x=1 <=> x=0

x >= 0   =>  e^x >=  e⁰  => e^x-1  >=  0

Donc f’ >= 0 sur R⁺

Donc f est strictement croissante sur R⁺

f(0)=e⁰-0=1

donc : Pour tout x appartenant à [0 ; +∞[, e^x > x.

De plus lim x = +∞ quand x tend vers +∞, donc

Limite au voisinage de -∞ :

e^x = 1/e^-x

lim –x = +∞ quand x tend vers -∞  et lim e^X = +∞ quand x tend vers +∞

Donc par limite des fonctions composées,

Courbe de x|-->e^x et tangentes en 1 et en 0.

Tangente en 0 : coefficient directeur = e⁰ = 1

Tangente en 1 : coefficient directeur = e¹ = 2,17 (environ).

La dérivée de x|-->e^x est x|-->e^x

Donc

Une primitive de e^x est e^x, sur R.

Soit u une fonction définie dérivable sur I .

x|-->e^u(x) est t’elle dérivable ?

x|-->u(x)

         x-->e^X

u est dérivable sur I, et u(x) appartient à R,

X|-->e^X est dérivable sur R, donc par composition, x|-->e^u(x) est dérivable,

(e^x)’ = e^x      (e^u)’=U’e^u

Donc une primitive de U’e^u est e^u