Partie A
1. On cherche les limites en +∞ et en 0 de la fonction définie par:
Or on sait que (à savoir par coeur):
et:
Donc:
On sait aussi
Donc:
on a également:
Donc:
D'où finalement:
2. La fonction f est dérivable sur ]0;+∞[ comme produit de deux fontions dérivables sur cet intervalle.
On calcule la dérivée de f par la formule : (uv)'=u'v+uv'
On utilise également le fait que (u+v)'=u'+v'
On obtient pour tout x>0 :
Or on sait que:
On obtient donc:
3.a) La fonction u définir sur ]0;+∞[ par u(x)=lnx+x-3 est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée est :
u' est strictement positive sur ]0;+∞[ donc la fonction u est strictement croissante sur ]0;+∞[.
3.b) La fonction u est dérivable sur [2;3] et u' est strictement positive sur ]2;3[ donc u réalise une bijection strictement croissante de [2;3] dans [u(2);u(3)]
On calcule u(2) et u(3), on veut montrer que l'un est négatif et l'autre est positif. Ainsi, comme u est croissante on est certain qu'elle s'annulera entre 2 et 3 (elle passe d'une valeur négatif à une valeur positive)
u(2)=ln2+2-3=ln2-1≈-0.31 < 0
u(3)=ln3+3-3=ln3≈1,10 > 0
Donc l'équation u(x)=0 admet une unique solution α sur [2;3]
On cherche ensuite un encadrement de α à 0.01 près. C'est à dire on localise le changement de signe de u (avec le tableau de valeurs sur la calculatrice).
On constate que :
u(2,20)≈-0.01 <0
u(2,21)≈0.003 >0
On en déduit alors que 2,20<α<2,21
3.c) On peut résumer l'étude du signe de u dans le tableau suivant:
Partie B
4.a) On constate que :
(Coup TRES classique! Cela peut vous permettre de vérifier votre dérivée de f ! bien souvent, u doit apparaître dans l'expression de la dérivée de f )
Or x² est toujours positif, donc le signe de f ' est celui de u.
On peut résumer l'étude du signe de f dans le tableau suivant:
4.b) On a u(α)=0
Donc ln(α)+α-3=0
Soit ln(α)=3-α
On remplace dans l'expression de f(α) :
Comme on sait que 2,20<α<2,21
On en déduit l'encadrement de -f(α) suivant : (on prend -f(α) pour simplifier les calculs dans un premier temps)
(puisque majorer un quotient de nombres positifs revient à majorer le numérateur et minorer le dénominateur)
Soit : 0.65<-f(α)<0.67
D'où l'encradrement de f(α) d'amplitude 2x10-2 :
-0,67<f(α)<-0,65
(on a multiplier par (-1) tous les membres, l'inégalité change donc de sens)
l'amplitude renseigne notamment sur le nombre de chiffres significatifs à mettre après la virgule.
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