Chapitres
- 01. La fonction
- 02. Les tangentes
- 03. Les cas indéterminés
- 04. Généralisation
La fonction
(ex)'=ex
or, ∀x appartenant à IR, ex>0
donc x→ex est strictement croissante sur IR
V(+∞) :
Démontrer :
que [0;+[, ex>x
ce qui vaux à démontrer :
∀x appartenant à [0;+∞[, ex-x>0
Posons f définie dérivable sur [0;+∞[ par f(x)=ex-x
f'(x)=ex-1
f'(x)=0 <=> ex=1 <=> x=0
x≥0 => ex≥e0 => ex≥1 => f'(x)≥0
f(0)=e0-0=1
donc f(x)>0
∀x≥0, ex>x
et \lim x=+∞ donc \lim ex=+∞
x→+∞ x→+∞
V(-∞) :
ex=1/(e-x)
e-x : x → -x
X → ex
lim -x=+∞ et \lim ex=+∞ , \lim e-x=+∞
x→-∞ x→+∞ x→∞
par limite des fonctions composée, on a
lim 1/(e-x)=0
x→-∞
donc \lim 1/(e-x)=0
x→∞
Courbe de x→ex et tangente en 0 et en 1
Les tangentes
tangente en 0 : coef directeur égale e0=1
tangente en 1 : coef directeur égale e1=e
La dérivée de x→ex est x→ex
donc une primitive de ex est ex, sur IR
Soit u une fonction définie dérivable sur I
x→eu(x)
X→ex
u est dérivable sur I, et u(x) appartient a IR
X→ex ext dérivable sur IR
donc, par composition
x→eu(x) est dérivable sur I
est (eu(x))'=u'(x)*eu(x)
(ex)=ex (eu)'=u'*eu
Les cas indéterminés
a) V(0) : (ex-1)/x
lim ex-1=e0=0 car x→ex-1
x→0 (continue)
lim x=0
x→0
se qui nous donne une F,I du type «0/0»
(ex-1)/x est le taux de variation de x→ex
en effet (ex-1)/x=(ex-e0)/(x-0)
or la fonction x→ex est dérivable en 0,
donc ce taux a pour limite le nombre dérivé en 0, c'est-à-dire e0, soit 1
lim (ex-1)/x=1
x→0
b) V(+∞) : ex/x
F,I «+∞/+∞»
Démontrer que :
∀x appartenant à ]0;+∞[,, (ex/x)>x/2
<=> ∀x appartenant à ]0;+∞[, ex>x²/2
<=> ∀x appartenant à ]0;+∞[, ex-(x²/2)>0
Soit f définie sur [0;+∞[ par f(x)=ex-(x²/2)
f'(x)=ex-x
Voir partie III, on a : ∀x appartenant à ]0;+∞[, ex>x
donc :
Donc ∀x appartenant à ]0;+∞[,, (ex/x)>(x/2)
Or \lim x/2=+∞
x→∞ limite par croissance comparée
donc \lim ex/x=+∞
x→∞
Généralisation
lim ex/en=+∞ , n≥1 «l'exponentielle l'emporte sur xn»
c) V(-∞) : xex
lim x=-∞
x→-∞
lim ex=0
x→-∞
xex=x/e-x
=-x/e-x
or: -x/e-x:→-x
X→X/ex
lim -x=+∞
x→-∞
et \lim X/ex=0 , par croissance comparée
x→-∞
donc limite de la fonction composée
lim -x/e-x=0
x→-∞
lim xex=0
x→-∞
lim xnex=0 «l'exponentielle l'emporte sur xn»
x→-∞
Pour lever des indétermination, on peut transformer les expressions de façon à faire apparaître les formes ex/xn, xnex
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