Chapitre 4 : Primitives.
Dans ce cours faites attention à bien faire la différence entre f (petit f) et F (grand f). |
Définition :
Soit f une fonction continue, dérivable sur I. F est une primitive de f sur I. Si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x appartenant à I, F’(x) = f(x) |
Exemple :
f(x) = cosx – xsinx
F(x) = xcosx
Démontrez que F est une primitive de f sur R.
F est dérivable sur R et F’(x) = cosx + x(-sinx)
=cosx-xsinx
=f(x)
Donc F est une primitive de f.
Une autre primitive de f est :
G(x) = xcosx+1
D’autres sont :
x~> xcosx + k, k appartenant à R.
Donc une fonction admet une infinité de primitives.
Théorème :
Soit f une fonction continue dérivable sur I.
-1)Si F est une primitive de f sur I Alors F+k est aussi une primitive de f sur I
-2)Si F est G sont deux primitives de f sur I, Alors il existe un réel k (appartenant a R) tel que pour tout x appartenant a I, F(x) – G(x) = k |
Démonstration :
1)Calculons la dérivée de F+k :
(F+k)’(x) = F’(x)
Or F primitive de f donc F’=f
Donc (F+k)’(x)= f(x)
Donc F+k est une primitive de f.
2)Si F et G sont deux primitives de f sur I
Alors F’(x) = f(x) et G’(x)= f(x)
Alors F’(x) – G’(x) = 0
Alors (F-G)’(x) ) = 0
Alors il existe un réel k tel que : F(x) – G(x) = k
Ainsi, les primitives d’une fonction défèrent d’une constante. On obtient les courbes des différentes primitives par translation de l’une d’elle par kj (vecteur j). |
Exemple :
f(x) = x²
Une primitive de f est
F(x)= (1/3)x3, en effet F’(x) = (1/3)*3x²=x²=f(x)
Donc toutes les primitives sont : x|~>(1/3)x3+k , k appartenant a R.
Déterminez la primitive de f qui prend la valeur 0 en 1.
G(x) = (1/3)x3 + k
G(1) = 0
(1/3) * 13+k = 0
k = -(1/3)
La recherche des primitives se fait par lecture inverse du tableau de dérivation. (Si vous n’y parvenez pas il reste encore la solution d’apprendre le tableau des primitives) |
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Good Job man !