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  1. 01. Énoncé
  2. 02. Corrigé et Méthode
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C'est parti

Énoncé

d et d' sont des droites qui ont pour représentation paramétrique :

Pour d :

x = 4-t

y = 5-2t        avec t ∈ IR

z = -3+3t

pour d' :

x = 1+3t

y = 11-6t
avec t ∈ IR

z = -4+t

Démontrer qu'il existe un plan P et un seul contenant d et d', et déterminer l'équation cartesienne.

Corrigé et Méthode

d passe par A(4,5,-3) et est dirigée par u(-1,-2,3)
d' passe par B(1,11,-4) et est dirigée par v(3,-6,1)
u,v ne sont pas colinéaires, donc les droites d et d' ne sont pas parallèles.

Soit M(t) sur d et M(u) sur d' alors:

x=4-t=1+3u
y=5-2t=11-6u
z=-3+3t=-4+u

On obtient ainsi un système de 3 équations à 2 inconnues t,u.

On le résoud pour obtenir {t = 0, u = 1}.
Donc les 2 droites sont sécantes au point A, et donc coplanaires, dans un plan unique P=plan(A,u,v).

Equation de P:
M(x,y,z) est sur P s.si il existe a et b réels tels que vec(AM)=au+bv

x-4=-a+3b
y-5=-2a-6b
z+3=3a+b

En éliminant a et b entre ces 3 équations, on obtient une équation de P: 8x+5y+6z=39.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !