Chapitres
- 01. Énoncé
- 02. Correction
Énoncé
Correction
On cherche m de façon à ce que f soit continue sur ]-∞ ; 0[U]0 ; +∞[ :
x|~>x²+1
X|~>1-√(x-1)
F(x) est continue comme c’est une composée de deux fonctions continues.
Pour avoir la continuité en 0, on doit avoir \lim f(x) = f(0) quand x tend vers 0 .
On calcule \lim f(x) quand x tend vers 0, mais on tombe sur une fonction indéterminée : « 0/0 »
Nous allons lever l’indétermination en utilisant la technique de « quantité conjugué »
F(x) = ((1-√(x+1))*(1+√(x+1)) / x(1+√(x²+1)
F(x) = -x / (1+√(x²+1))
(si vous n’arrivez pas a ce résultat vous pouvez demander, je mettrai les explications, vous pouvez aussi aller voir le cours )
Lim x²+1 = 1 (fonction continue)
x~>0
Lim √X = 1 (fonction continue)
x~>1
Donc par limite de fonctions composées,
Lim √(x²+1)=1
x~>0
Donc \lim 1+√(x²+1)=2
X~>0
Lim –x = 0
X~>0
Donc par quotient la limite de f(x) quand x tend vers 0 est égale a 0.
Or f(0) = m
Donc m doit être égale a 0 pour que la fonction f soit continue en 0.
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Salut Morganejulie, pour passer de l’un vers l’autre il faut en fait utiliser la technique de la quantité conjuguée :
La fonction de départ est f(x) = (1 – √(x²+1)) / x
Ensuite avec la méthode de la quantité conjuguée on arrive à :
f(x) = ( (1-√(x²+1) ) * (1+√(x²+1) ) / ( x*(1+√(x²+1) )
Ensuite on réduit :
f(x) = ( 1-x²-1 ) / (x*(1+√(x²+1)) )
f(x) = -x² / ( x*(1+√(x²+1)) )
f(x) = -x / 1+√(x²+1) (simplification par x)
Voila j’espère t’avoir éclairé la dessus ! 🙂
Si tu as d’autres questions n’hésites pas.
Bonjour Rom1, je suis bloqué sur ton exo sur la continuité, est-ce que tu pourrais me donner des explications, je ne vois pas comment tu passe de
F(x) = ((1-√(x+1))*(1-√(x-1)) / x(1+√(x²+1)
à
F(x) = -x / (1+√(x²+1))
Merci de ta réponse.