Énoncé
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O,vecteur u, vecteur v)
On désigne: par A et B les points d'affixes respectives -i et 2i
par P* l'ensemble des points de P distincts de A
Soit f l'application de P* dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point f(M) d'affixe Z telle que:
Z=i(z-2i/z+i)
1a)Soit M1 le point d'affixe i,soit M2 le point d'affixe (3/2)+(1/2)i
déterminer f(M1) et f(M2)
b)déterminer: le point M de P* tel que f(M)= 0
le point M de P* tel que f(M)=N où N est le point d'affixe 2-i
2)Déterminer:
a)l'ensemble E des points M de P* dont les images ont pour affixe un nombre imaginaire pur
b)l'ensemble F des points M de P* dont les images ont pour affixe un nombre réel
c)l'ensemble G des points M de P* dont les images appartiennent au cercle de centre O de rayon 1
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Corrigé
1a)
M1: z = i
f(M1): C'est Z=i((z-2i)/(z+i)) dans laquelle on remplace z par i ->
f(M1): Z = i((i-2i) / (i+i)) = i.(-i)/(2i) = i.(-1/2) = -i/2
M2: z = (3/2)+(1/2)i
f(M2): C'est Z=i((z-2i)/(z+i)) dans laquelle on remplace z par (3/2)+(1/2)i ->
f(M2): Z =i(((3/2)+(1/2)i-2i)/((3/2)+(1/2)i+i))
f(M2): Z =i(((3/2)-(3/2)i)/((3/2)+(3/2)i)
f(M2): Z =i(1-i)/(1+i)
f(M2): Z =i(1-i)(1-i)/[(1+i)(1-i)]
f(M2): Z =i(1-1-2i)/2
f(M2): Z = i.(-i)
f(M2): Z = 1
---
b)
f(M) = 0
i((z-2i)/(z+i)) = 0
z - 2i = 0
z = 2i
Le point M tel que f(M) = 0 a pour affixe z = 2i (c'est le point B).
--
f(M) = N
f(M) : 2-i
i((z-2i)/(z+i)) = 2-i
i(z-2i) = (2-i)(z+i)
iz + 2 = 2z + 2i - iz + 1
z(2-2i) = 1 - 2i
z = (1-2i)/(2-2i)
z = (1-2i)(2+2i)/[(2-2i)(2+2i)]
z = (2-4i+2i+4)/8
z = (6-2i)/8
z = (3/4) - (1/4)i
Le point M tel que f(M) = 2-i a pour affixe z = (3/4) - (1/4)i
-----
2)
Z=i((z-2i)/(z+i))
a)
Posons z = x+iy
i(z-2i)/(z+i) = i(x+iy-2i)/(x+i(y+1))
i(z-2i)/(z+i) = [(2-y)+ix]/(x+i(y+1))
i(z-2i)/(z+i) = ((2-y)+ix)(x-i(y+1))/[(x+i(y+1)).(x-i(y+1))]
i(z-2i)/(z+i) = [(x(2-y)+x(y+1)+i(x²-(2-y)(y+1))]/[(x²+(y+1)²]
i(z-2i)/(z+i) = [(x(2-y+y+1)+i(x²-(2y+2-y²-y))]/[(x²+(y+1)²]
i(z-2i)/(z+i) = (3x+i(x²+y²-y-2))/[(x²+(y+1)²]
Si imaginaire pur, il faut que la partie réelle soit nulle ->
3x/(x²+(y+1)²) = 0
soit x = 0 mais sans le point pour lequel on aurait x²+(y+1)² = 0 soit le point d'affixe -i (point A)
L'ensemble E inclut tous les points de l'axe des imaginaires à l'exception du point A.
---
b)
i(z-2i)/(z+i) = (x+i(x²+y²-y-2))/[(x²+(y+1)²]
Si réel pur, il faut que la partie imaginaire soit nulle ->
(x²+y²-y-2)/[(x²+(y+1)²] = 0
soit x²+y²-y-2 = 0 mais sans le point pour lequel on aurait x²+(y+1)² = 0 soit le point d'affixe -i (point A)
x²+y²-y-2 = 0
x² + (y-(1/2))² - (1/4) - 2 = 0
x² + (y-(1/2))² = 9/4
L'ensemble F inclut tous les points du cercle de centre d'affixe (1/2)i et de rayon 3/2 mais le point A étant exclu.
---
c)
z = x + iy
i(z-2i)/(z+i) = (3x+i(x²+y²-y-2))/[(x²+(y+1)²]
i(z-2i)/(z+i) = x' + i.y'
avec x' = 3x/[(x²+(y+1)²]
et y' = (x²+y²-y-2)/[(x²+(y+1)²]
et il faut que x'²+y'² = 1
->
[9x² + (x²+y²-y-2)²]/[(x²+(y+1)²]² = 1
9x² + (x²+y²-y-2)² = [x²+(y+1)²]²
9x²+x^4+y^4+y²+4+2x²y²-2x²y-4x²-2y³-4y²+4y = x^4+(y²+2y+1)²+2x²(y²+2y+1)
9x²+x^4+y^4+y²+4+2x²y²-2x²y-4x²-2y³-4y²+4y = x^4+y^4+4y²+1+2x²y²+4x²y+2x²+4y³+2y²+4y
6y³+9y²+6x²y-3x²-3 = 0
2y³+3y²+2x²y-x²-1 = 0
x²(2y-1) = -2y³-3y²+1
x²(2y-1) = (2y-1)(-y²-2y-1)
Soit y = 1/2
Soit x² = -y²-2y-1
x²+y²+2y = -1
x²+(y+1)²-1 = -1
x²+(y+1)² = 0 ce qui n'est possible que pour x = 0 et y = -1, soit l'affixe de A mais c'est interdit.
-> l'ensemble G est constitué des points de la droite d'équation y = 1/2.
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