Chapitres
Définition
-on admet que i^2= -1
-Un nombre complexe (noté z le plus souvent) est un nombre de la forme x + iy, avec x qui est la partie réelle et y la partie imaginaire.
z = z'(avec z = x + iy et z' = x' + iy') si on a x = x' et y = y'
Calcul avec les nombres complexes
(le conjugué d' un nombre complexe z est notée Z = x - iy)
De ce fait, on a donc :
a) z-Z = 2iy
b) Z*z = x^2 + y^2
c) z est réel si z = Z
d) z est imaginaire pur si Z = -z
e) z + z' = (x + x') + i(y + y')
f) z*z' = (xx' + yy') + i(xy' - x'y)
g) les identités remarquables sont aussi valables avec des nombres complexes.
h) le conjugué de la somme de deux complexes est la somme des conjugués de chaque complexe, de même pour un produit ou un quotient.
Formes géométriques
- on a z = x + iy
- M d' affixe z est le point de coordonnée (x,y)
- l' affixe du vecteur MM' est l' affixe de M'- l' affixe de M
- le module de M d' affixe z (notée z) est égale au radical de x^2 + y^2, de plus le module de z est la distance de M au point origine du repère.
- Le module d' un produit (ou d' un quotient) est le produit (ou quotient) des modules.
- Dans un repère (o, vecteur u, vecteur v)
L' argument de z est la mesure en radians le l' angle orientés (vecteur u, vecteurOM)
La forme géométrique de z est donc z = z(cosØ + isinØ) avec Ø = arg(z)
Arg(z*z') = arg(z) + arg(z') + 2kpi
Arg(1/z) = -argz + 2kpi
Arg(z/z') = arg(z) - arg(z') + 2kpi
Arg(z^n) = (arg(z))*n
Formule de Moivre (cos(Ø) + isin(Ø))^n = cos(nØ) + isin(nØ)
Forme exponentielle
- Pour tout réel Ø, on pose e^(iØ) = cosØ + i(sinØ)
- un nombre complexe s' écrit donc z=ze^iØ (avec Ø=arg(z)
- Formule d' Euler:
cosØ = 0.5 * (e^iØ + e^-iØ)
sinØ = (1/2i) * (e^iØ - e^-iØ)
Complexes et géométrie
on considère le repère (o, vecteur U, vecteur V)
Arg(zb-za) = (vecteur U, vecteur AB) + 2kpi
Arg((zb-zc) / (za-zc)) = (vecteur CA, vecteur CB) + 2kpi
Transformation :
- Translation de vecteur AB :
z' = z + a (avec a l' affixe du vecteur AB)
- rotation de centre o et d' angle Ø:
z' = e^iØz
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