Les conditions mathématiques

Probabilités conditionnelles

Reprenons notre urne avec ses onzes boules. Vous vous rappelez ?

 Six boules rouges et cinq boules noires, chacune de ces boules étant numérotées de 0 à 10 (de 0 à 5 pour les rouges et de 6 à 10 pour les noires). On bande les yeux de l'expérimentateur et on lui demande de tirer deux boules dans l'urne. On précise que les boules sont indiscernables au toucher ce qui signifie qu'il ne peut distinguer en les touchant ni leur couleur ni leur numéro.

 On demande à notre expérimentateur de tirer deux boules successivement sans remettre la première boule tirée dans l'urne avant de tirer la seconde, c'est un tirage sans remise .

Il tire une boule rouge lors de son premier essai. Quelle est alors la probabilité qu'il tire une boule rouge lors du second ? Et une paire ?

Dans cette exemple, on peut remarquer que la probabilité du résultat du second tirage est "conditionnée" par le résultat du premier puisque celui-ci modifie la constitution de l'urne.

En effet, si la première boule tirée est une boule rouge portant un numéro pair, pour le second tirage, il ne reste dans l'urne plus que 5 boules rouges et 5 boules noires et parmis toutes ces boules, 5 portent un numéro pair. La  probabilité de tirer une boule rouge au second essai est donc de 1/2. De la même façon, celle de tirer une boule protant un numéro pair est aussi de 1/2.

Par contre, si la première boule tirée est une boule noire portant un numéro pair,alors la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage devient de 6/10=3/5  mais celle de tirer une boule portant un numéro pair reste de 1/2.

Ainsi, la probabilité de tirer une boule noir au second tirage "sachant que" lors du premier c'est une boule rouge qui a été tirée est appélé probabilité conditionnelle de l'événement "tirer une boule noire au second tirage " sachant que l'événement "tirer une boule une boule rouge au premier tirage" s'est réalisé.   

Dans le cas d'un tirage avec remise les tirages précédants n'influent pas sur le tirage courant puisqu'avant le début de chaque expérience l'urne est identiquement reconstituée. La probabilité de tirer une boule noir au second tirage "sachant que" lors du premier c'est une boule rouge qui a été tirée est donc la même que si c'est une boule noire qui avait été tirée. Cette information n'a donc aucune valeur. 

Avez bien compris ?