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Spécialité : Divisibilité, division euclidienne


7 Février 2007 Consulté 8581 fois
exercice - Terminale S - Mathématiques
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Spécialité : Divisibilité et division euclidienne

 


Exercice 1 :

Ecrire tous les diviseurs de 48.
Combien il y en a-t-il ?


Exercice 2 :

Posons 55 = 50 + 5.
Montrer que 5 divise 55.


Exercice 3 :

Posons a appartenant à Z.
Démontrer que a(a² – 1) est multiple de 2 et de 3.


Exercice 4 :

Ecrire la division euclidienne de 712 par 17.
En déduire qu'il existe un couple (q; r), d'entiers naturels, tel que l'on ait 712 = 17*q + r.


*******************************


Correction de l'exercice 1 :

Diviseurs de 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
48 a 10 diviseurs.


Correction de l'exercice 2 :

On a : 55 = 50 + 5, or 50 = 5*10, donc 55 = 5*11.
Donc 5 divise 55.


Correction de l'exercice 3 :

a(a² – 1) = a(a – 1)(a + 1)
Or a(a + 1) sont deux entiers consécutifs, ce qui signifie que l'un des 2 est pair.
Donc le produit a(a – 1)(a + 1) est alors divisible par 2.

De même, (a – 1)a(a + 1) sont trois entiers consécutifs.
L'un d'entre eux est donc divisible par 3, ainsi le total est divisible par 3.


Correction de l'exercice 4 :

Division euclidienne de 712 par 17 :
712 = 17*41 + 15

On peut donc avoir q = 17 et r = 15.
Démontrons maintenant que le couple (q ; r) est unique :
Comme on a : 712 = 17*41 + 15, alors on peut écrire :
17q + r = 17*41 + 15, donc 17(q – 41) = 15 – r.
17(q – 41) est donc un multiple de 17, par conséquent, (15 – r) est un multiple de 17.
Or, 0 < r < 17.

Et tout multiple non nul de 17 est supérieur à 17.
On en déduit que 15 – r est donc nécessairement nul, donc r = 15.
Dans ce cas on aura toujours q = 17.
Ainsi (17, 15) est un couple unique.

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