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» Terminale S - Suites

Suite arithmétique et géométrique, exercice 2


18 Novembre 2008 Consulté 15922 fois
exercice - Terminale S - Mathématiques
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Une personne loue une maison à partir du 1er janvier 2001. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 12 000 euros et le locataire s’engage à occuper la maison pendant 9 années complètes.

1) Contrat 1 : le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l’année précédente.

a) Calculer le loyer u1payé lors de la deuxième année.

b) Exprimer un(loyer payé lors de la (n + 1)ème année) en fonction de n.

c) Calculer u8.

2) Contrat 2 : le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 700 euros du loyer de l’année précédente.

a) Calculer le loyer v1payé lors de la deuxième année.

b) Exprimer vn (loyer pay& lors de la (n + 1)ème année) en fonction de n.

c) Calculer v8.

3) Calculer la somme payée à l’issue des neuf années complètes dans le cas des deux contrats. Quel contrat choisissez-vous?


  1. a) u1 = 12000 + 5/100 x 12000 = 12000 + 600 = 12600.

    Le loyer payé lors de la deuxième année est de 12600 €.

    b) un = un-1 + 5/100 x un-1 = un-1 x (1 + 5/100) = un-1 x 1,05

(un) est donc une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme u0 = 12000.

Par conséquent, quel que soit n entier positif ou nul, un = 12000 x (1,05)n.

c) u8 = 12000 x 1,058 = 17729,465...

Le loyer de la neuvième année vaut donc environ 17729,47 euros.

  1. a)v1 = 12000 + 700 = 12700.

    Le loyer payé lors de la deuxième année est de 12700 €.

    b) vn = vn-1 + 700

(vn) est donc une suite arithmétique de raison 700 et de premier terme v0 = 12000.

Par conséquent, quel que soit n entier positif ou nul, vn = 12000 + 700n.

c) v8 = 12000 + 700 x 8 = 17600,

Le loyer de la neuvième année vaut donc 17600 euros.

  1. Dans le cas du contrat 1 :

    u0 + ... + u8 = 12000 x (1 – 1,059) (1 – 1,05) = 132318,771....

    Dans le cas du contrat 2 :

    v0 + ... + v8 = (12000 + 17600) / 2 x 9 = 133200

    Par conséquent, sur les neuf années, le contrat 1 revient moins cher, c'est donc celui-ci que l'on choisira.

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