Oscillation de l'électricité dans un système

Par la loi d'additivité des tensions, on peut écrire : UAA = UAB + UBC + UCD + UCE + UEA.

Soit : UAA = UC + UL + UR = 0 ( Car UAA = 0 )

Par conséquent : ( Q / C ) + L x ( dI / dT ) + R x I = 0

On en déduit donc que : ( Q / C ) + L x ( D2Q / D2t ) + R x ( dQ / dt )

-> Car I = ( dQ / dt )

ATTENTION : ( dQ / dt ) est la dérivée première ; ( d2Q / dt2 ) est la dérivée seconde.

REMARQUE : Dans le cas d'une bobine non idéale ( qui possède donc une résistance intérieure non négligeable ), on a :

( Q / C ) + L x ( d2Q / dt2 ) + ( R + r ) x ( dQ / dt ) = 0

Écrire l'équation en fonction de Uc sachant que Q = C x UC.

UC + L x ( d2 ( UC x C ) / dt ) ) + ( R + r ) x ( d ( Uc x C ) / dt ) ) = 0

UC + LC x ( d2UC / dt ) ) + ( R + r ) x C x ( dUc / dt ) ) = 0

La solution de l'équation est : u(t) = Umax x cos ( ( 2πt / T ) + φ )

Umax : Valeur maximale ; φ : phase ; T : période.

REMARQUE : Si le circuit est idéal, la résistance totale est égale à 0.

D'où : Uc + LC x ( d2UC / d2t ) = 0

Montrer que l'expression est solution de l'équation (1).

(1) : Uc + LC x ( d2UC / d2t ) = 0

1 : Dérivons u(t) pour obtenir ( d2u(t) / d2t ).

On a : u(t) = Umax x cos ( ( 2πt / T ) + φ )

Soit : ( du(t) / dt ) = Umax x ( - 2πt / T ) x sin ( ( 2πt / T ) + φ )

D'où : ( d2u(t) / d2t ) = Umax x ( - 2πt / T ) x ( 2πt / T ) x cos ( ( 2πt / T ) + φ )

Simplifions : ( d2u(t) / d2t ) = ( - 4πt2 / T2 ) x umax x cos ( ( 2πt / T ) + φ )

2 : Transposons nos valeurs dans l'équation (1).

On a : Uc + LC x ( d2UC / d2t ) = 0

Donc : Umax x cos ( ( 2πt / T ) + φ ) + LC x ( - 4πt2 / T2 ) x umax x cos ( ( 2πt / T ) + φ ) = 0

Soit : Umax x cos ( ( 2πt / T ) + φ ) = LC x ( 4πt2 / T2 ) x umax x cos ( ( 2πt / T ) + φ )

D'où : 1 = LC x ( 4πt2 / T2 )

Par conséquent : T = 2π√(LC)

Déterminer la valeur de la phase φ :

À t = 0, le condensateur est chargé. u(0) équivaut donc à umax.

Soit : u(0) = umax x cos ( ( 2πt / T ) + φ ) = umax

Donc : cos ( 0 + φ ) = 1

Par conséquent : cos ( φ ) = 1 et φ = 0.

D'où : u(t) = Umax x cos ( 2πt / T )

REMARQUE : φ représente la phase à l'origine. Elle désigne tout simplement la valeur en ordonnée de l'onde à un instant donné ( ici t=0 ). On l'utilise souvent en télécommunications pour représenter « un retard »  d'une onde par rapport à une autre. Cette phase n'a pas d'unité, ce n'est qu'un nombre ! Elle sert donc à connaître le moment à partir duquel on compte.

-> source : lien.

Pour un condensateur, on a : E = ( 1 / 2 ) C x Uc2.

Pour une bobine, on a : E = ( 1 / 2 ) L x i2.

Nous devons par conséquent, distinguer trois cas :

1 : L'énergie est totalement stockée dans le condensateur.

-> E = ( 1 / 2 ) C x Uc2.

2 : L'énergie est totalement stockée dans la bobine.

-> E = ( 1 / 2 ) L x i2.

3 : L'énergie est stockée dans les deux.

-> E = ( 1 / 2 ) C x Uc2 + ( 1 / 2 ) L x i2.

1 : Il y a des oscillations sinusoïdales et un échange énergétique entre le condensateur et la bobine.

2 : C'est le générateur qui fournit initialement l'énergie. Les oscillations sont libres car l'échange est spontanée.

3 : Si la résistance R est supérieure à 0, l'amplitude diminue au cours du temps : les ondes s'amortissent. Plus R est élevée et plus l'amortissement sera conséquent.

-> On parle donc de pseudo période car seulement T est conservé.