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BAC FICHE PHYSIQUE 3 se servir de la méthode d'Euler


3 Avril 2009 Consulté 28732 fois
résumé - Terminale S - Physique
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FICHE METHODE N° 3

METHODE D'EULER

Certaines fonctions ne sont pas connues explicitement, mais seulement par une équation vérifiée par leur dérivée,  et une valeur particulière, dite valeur initiale, donnée par les conditions physiques d 'une expérience .

Exemple :

on a une équation différentielle de type :    dv/dt + Av = B  on résout cette équation par la méthode d'Euler.

On va rechercher des valeurs de v à différentes dates t.

Pour des intervalles de temps ∆t petits (appelés : pas de discrétisation)

on confond ∆v/∆t avec dv/dt c'est à dire : ∆v/∆t = dv / dt.

On construit la courbe v(t) théorique  à l'aide du calcul de v tous les ∆t à partir d'une condition initiale v0 connue telle que :

avec ∆v = vn+1 – vn    d'où :   vn+1 = vn + ∆v    or ∆v = an.∆t

il vient :   vn+1 = vn + an.∆t  = vn+ dv/dt ∆t 

tous les ∆t on construit un point de la courbe v(t).

le premier point correspond à : t =  0       v0 connu,           

puis  à t1  = t0+∆t              v1 = v0 + dv0 /dt ∆t          

puis  à t2 = t1+∆t               v2 = v1+ dv1/dt ∆t   etc…

Application numérique :  

on a une équation : 5,69 – 81v = dv/dt

Conditions initiales : v0 = 0 à t =0         

il vient  dv0/dt = 5,69 d'après l'équation

On choisit un pas de ∆t = 0,005s            

A  t = 0,005s      on a :  v1 = v0 + dv0 /dt ∆t

                                           = 0 + 5,69 . 0,005 = 0,0284m.s-1

On peut déterminer l'accélération à l'aide de l'équation différentielle :  

                                       a1=dv1/dt = 5,69 -81v1

                                               d'où : a1= 3,38 m.s-2

A  t = 0,010s   on a : v2 = v1+ dv1/dt ∆t   = 0,0284 + 3,38.0,005 = 0,0453 m.s-1

Il vient a2= dv2/dt = 5,69 -81 .v2 = 2,02 m.s-2

Et ainsi de suite…..

(voir exercice d'application (l'énoncé: ici)

(voir exercice d'application (le corrigé: ici)

Les calculs sont assez lourds. Nous pouvons utiliser un tableur (calculatrice, excel…) afin de recopier une formule avec le pas ∆t.

t(s)

dv/dt (m.s-2)

v (m.s-1)

0

5,69

0

0,005

3,38

0,0284

0,010

2,02

0,0453

Dans excel:

A

B

C

D

t

dv/dt

v

∆t

0

5,69-81*C2

0

0,005

A2+$D$2

5,69-81*C3

C2+$D$2*B2

-         $D$2: la valeur se trouvant dans la case D2 peut être changée.

-         On copie la dernière ligne vers le bas du tableau pour avoir toute la suite ddes valeurs de v et dv /dt avec un pas de ∆t = 0,005s.

 

 

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