Chapitres
👨🏫 Une fonction primitive, ou intégrale indéfinie, d'une fonction 
est une fonction F(x) dont la dérivée est . Elle représente l'ensemble des antécédents possibles de par rapport à x. Elle est caractérisée par une constante d'intégration, pouvant varier selon le contexte.
Dérivée première : La dérivée première de x par rapport à t
Dérivée seconde : La dérivée seconde de x par rapport à t
Dérivée d'ordre n : La dérivée d'ordre n de x par rapport à t
Dérivée partielle : Si x dépend de plusieurs variables, la dérivée partielle de x par rapport à l'une de ces variables
Dérivée totale : Si x dépend de plusieurs variables, la dérivée totale de x par rapport à une variable, par exemple y, tient compte des variations de toutes les variables sur lesquelles x dépend
Les dérivées usuelles 🤓
Les dérivées ont de nombreuses applications dans la vie de tous les jours. C'est par exemple avec elles qu'on peut calculer les vitesses et les accélérations. Elles ont aussi de nombreuses applications en probabilités en dans le bâtiment afin de prévoir l'évolution des matériaux au cours du temps.
👉 En cours de maths, pour tout réel y et et pour tout entier naturel n, les fonctions suivantes se dérivent selon les formules ci-dessous :
- y une fois dérivé devient 0
- Cette fonction linéaire est définie sur ℝ est son domaine de dérivabilité sera lui aussi ℝ
- x dérivé devient 1, toujours défini et dérivable sur ℝ
Dans le cas d'une fonction puissance comme xn où n est supérieur ou égal à 1, la dérivée de la fonction sera nxn-1. Ces deux fonctions sont toujours définies et dérivables sur ℝ. Pour les fonctions racines, elles sont définies sur ℝ* et dérivables sur ℝ*.
Pour une fonction de ce type, 
la fonction dérivée sera 
Pour la fonction racine carré, définie sur ℝ+, elle sera dérivable sur ℝ*. La fonctionne racine carré de x se dérive en : 
Dérivées sur un intervalle
En cours de maths seconde, on considère qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I à condition et uniquement si elle est dérivable sur tout réel de cet intervalle.
La fonction dérivée de f est alors f'. Cette dernière associe à tout réel x une image f' (x).
Si la fonction f est dérivable sur un intervalle I et si f' est également dérivable sur le même intervalle I, alors :
- La dérivée de f', notée f'' et appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f existe.
Opérations sur les dérivées
Si l'on considère le réel y et u et v deux fonctions quelconques dérivables sur un intervalle I, il est possible de réaliser des opérations sur ces fonctions.
- y u se dérive en y u' ;
- u + v se dérive en u' + v' ;
- u v se dérive en u' v + u v' ;
La fonction 
se dérive en 
tant que u ne s'annule pas sur l'intervalle concerné.
La fonction 
se dérive en 
tant que v ne s'annule pas sur l'intervalle concerné.
Dérivées partielles d’une fonction à deux variables
Soit D une partie de ℝ².
Une fonction f à deux variables réelles définie sur D est un procédé qui à tout couple (x, y) appartenant à D associe un unique réel noté f((x, y)).
Le réel f((x, y)) est appelé image du couple (x, y) par f.
On ne peut plus parler de dérivée pour une fonction à deux variables, en effet, il faut faire référence à la variable par rapport à laquelle on souhaite dériver. La notion de dérivée partielle apparaît donc naturellement.
Dérivée d'une composée de fonctions
Soient u dérivable sur I et f dérivable sur J. Si u(I) ⊂ J alors la fonction composée f ◦ u est dérivable sur I, on a :
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Le nombre dérivé 🤔
Le nombre dérivé d'une fonction en un point mesure le taux de variation instantané de cette fonction à cet endroit.
La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme).
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a , et est notée : 
Le taux d’accroissement
🤔 Considérons une fonction f et un réel a appartenant au domaine de définition de f. Pour tout réel h, non nul, on appelle le taux d’accroissement ou taux de variation de f entre a et a + h.
Ce taux se calcule selon la formule suivante : 
En remplaçant a + h par x, on obtient : 
La tangente à une courbe en un point
Si une fonction f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente au point de coordonnées (a ; f(a) ).
Cette tangente non verticale aura pour coefficient directeur f' (a).
Voici son équation : 
Utilité de la dérivation 👍
Étudier le sens de variation d'une fonction
En cours de maths 3ème, en connaissant la dérivée d'une fonction f, on peut en déterminer son sens de variation. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f' est positive sur I, alors est croissante sur I ;
- si f' est négative sur I, alors est décroissante sur I ;
- si f' est nulle sur I, alors est constante sur I.
💡 On peut aussi en déduire la monotonie d'une fonction. Soit la fonction f dérivable sur un intervalle I.
- si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I ;
- si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Attention, f' peut s'annuler en un réel a sans changer de signe et sans que f n'admette un extremum local en a.
Trouver les "extremums" locaux d'une fonction
Considérons la fonction f dérivable sur l'intervalle I :
- Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f' (a) = 0
- Si f' s'annule en changeant de signe en a , alors f (a) est un extremum local de f
On peut aussi déterminer l’existence d'une tangente horizontale au point d'abscisse a. Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.
🧮 L'une des applications les plus fréquentes que vous rencontrerez est de devoir calculer le tableau de signes d'une fonction. Vous pourrez pour cela avoir recours aux calculs de dérivées. En effet, l'étude du signe de la dérivée vous permettra également d'établir le sens de variation de la fonction d'origine.
Les "primitives" ✍️
La notion de primitive est intimement liée à la dérivation. Par exemple, pour une fonction f définie sur l'intervalle I, on appelle F la primitive de f dérivable sur I qui vérifie l'équation suivante :
Propriétés
📚 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont de la forme suivante pour tout réel k :
Voici un tableau récapitulatif des primitives des fonctions usuelles avec n et k réels et F fonction primitive de f sur l'intervalle I.
| F (x) | f (x) |
|---|---|
| kx | k |
| (x ^ { n + 1 ) / ( n + 1 ) | xn |
| 2 √x | 1 / √x |
| ln (x) | 1 / x |
| ex | ex |
| - cos (x) | sin (x) |
| sin (x) | cos (x) |
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Calculs sur les primitives
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F' = f.
Soit f une fonction définie sur I et F une primitive de f sur I.
L’ensemble des primitives de f sur I est {F + k, k ∈ ℝ}.
Primitives par parties
Soient u et v deux fonctions définies sur un intervalle I. Si u et v sont dérivables sur I et si u' et v' sont continues sur I alors : 
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La fonction UV= U’V’ ?
c’est pas plutot U’V+UV’ ?
Ce n’est pas plutôt cette formule U’V-UV’
U’V-UV’ c la dérivé de U/V pas de UV
(UV)’ = U’V+UV’ oui