Les puissances de 10 permettent d'exprimer des nombres très grands ou très petits de façon plus simple et plus compacte. Par exemple :

💧Le nombre de molécules dans une goutte d'eau est environ égal à 6 000 000 000 000 000 000 000 000

➡️

Au lieu d'écrire ce nombre en entier, on peut l'exprimer en utilisant les puissances de 10 : 6 x 10^23 molécules

Cela rend l'écriture du nombre plus facile à lire et à écrire. De même, pour exprimer un nombre très petit comme la taille d'un atome, on peut utiliser les puissances de 10 :

🌊 La taille d'un atome d'hydrogène est d'environ 0,000 000 000 1 mètre

➡️

Soit 1 x 10^-10 mètre en puissance de 10

Les meilleurs professeurs de Physique - Chimie disponibles
Chris
5
5 (483 avis)
Chris
96€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (174 avis)
Houssem
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (334 avis)
Greg
140€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Moujib
5
5 (113 avis)
Moujib
100€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Antoine
4,9
4,9 (137 avis)
Antoine
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (94 avis)
Sébastien
75€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (75 avis)
Pierre-thomas
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (102 avis)
Ahmed
40€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Chris
5
5 (483 avis)
Chris
96€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (174 avis)
Houssem
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (334 avis)
Greg
140€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Moujib
5
5 (113 avis)
Moujib
100€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Antoine
4,9
4,9 (137 avis)
Antoine
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (94 avis)
Sébastien
75€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (75 avis)
Pierre-thomas
80€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (102 avis)
Ahmed
40€
/h
Gift icon
1er cours offert !
C'est parti

Écriture et signification d'une puissance de dix ✍🏼

Rédiger une puissance de dix

Un nombre correspondant à une puissance de dix s'écrit sous la forme 10a où "a" est un nombre relatif (c'est à dire un nombre entier qui peut être soit positif, soit négatif).

Ce nombre (10a) peut se lire de deux façons différentes :

🔖 "10 puissance a" ou "10 exposant a"

Quelques exemples de puissances de dix : 102 ; 1036 ; 10-5

Signification d'une puissance de dix

Lorsque l'exposant (a) est positif, alors la puissance de dix 10a correspond au nombre 1 suivi d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a.

Quelques exemples :

  • 103 correspond au nombre 1 suivi de 3 zéros donc 103 = 1 000
  • 105 correspond au nombre 1 suivi de 5 zéros donc 105 = 100 000

Lorsque l'exposant (a) est négatif, alors la puissance de dix 10a correspond à un nombre décimal s'écrivant avec le chiffre 1 précédé d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a, le premier zéro se trouvant à gauche de la virgule.

Quelques exemples :

  • 10-3 correspond au nombre 1 précédé de 3 zéros donc 10-3 = 0,001
  • 10-5 correspond au nombre 1 précédé de 5 zéros donc 10-5 = 0,00001

Méthode d'écriture d'un nombre sous forme d'une puissance de dix 📝

Comment passer sa calculatrice en écriture scientifique ?
L'écriture sous la forme de puissance de dix permet de simplifier une écriture où l'on pourrait se retrouver face à parfois une dizaine de zéro !

Quelle est la méthode à suivre ?

Cette écriture n'est possible que pour des nombres qui ne sont composés que d'un seul chiffre "1" accompagné d'un ou plusieurs "0".

Pour un nombre entier, on doit compter le nombre de zéros qui suivent le chiffre "1". Ce nombre de zéros est noté "b". On peut alors écrire le nombre sous la forme N = 10^b.

✅ Exemple : pour le nombre 10000, on a quatre chiffres zéro, donc b = 4, et on peut écrire 10000 comme 10^4

Si le nombre est un décimal inférieur à 1, on doit compter le nombre de zéros qui précède le chiffre "1". On note ce nombre "b" et on écrit le nombre sous la forme N = 10^-b.

✅ Exemple, pour le nombre 0,0001, on a quatre chiffres zéro, donc b = 4, et on peut écrire 0,0001 comme 10^-4

Valeur des premières puissances de dix

Le tableau ci-dessous reprend l'écriture des puissances de dix allant de 10 puissance -10 à 10 puissance 10 :

10 puissance 1010 puissance 910 puissance 810 puissance 710 puissance 610 puissance 510 puissance 410 puissance 310 puissance 210 puissance 110 puissance 010 puissance -110 puissance -210 puissance -310 puissance -410 puissance -510 puissance -610 puissance -710 puissance -810 puissance -910 puissance -10
1010 = 10 000 000 000109 = 1 000 000 000108 = 100 000 000107 = 10 000 000106 = 1 000 000105 = 100 000104 = 10 000103 = 1 000102 = 100101 = 10100 = 110-1 = 0,110-2 = 0,0110-3 = 0,00110-4 = 0,000110-5 = 0,0000110-6 = 0,00000110-7 = 0,000000110-8 = 0,0000000110-9 = 0,00000000110-10 = 0,0000000001

Remarques :

  • 100 = 1 donne tout simplement le chiffre 1
  • L'utilisation des puissances de dix devient clairement intéressante dès que les valeurs manipulées sont très grandes ou très petites.

Les préfixes associés à des puissances de dix

Les préfixes qui permettent de définir les multiples et sous-multiples d'une unité de base sont tous associés à des puissances de dix.

Le tableau ci-dessous reprend les préfixes les plus connus et les puissances de dix qui leur sont associées :

102110181015101210910610310210110-110-210-310-610-910-1210-1510-1810-21
Z (zetta)E (exa)P (peta)T (tera)G (giga)M (méga)k (kilo)h (hecto)da (déca)d (déci)c (centi)m (milli)µ (micro)n (nano)p (pico)f (femto)a (atto)z (zepto)

Des préfixes ont été ajoutées aux unités de base du Système International afin de pouvoir plus facilement manier de grands nombres. La plupart du temps, ces préfixes sont utilisés en lieu et place des ordres de grandeur.

On parlera d'un kilo pour exprimer une grandeur d'ordre 103 ou d'un méga pour exprimer une grandeur d'ordre 106.

Il existe

20 préfixes

aux unités de grandeur

C'est souvent dans le domaine de l'informatique que vous entende parler de ces ordres de grandeur. En effet :

  • Si l'on parle d'1 examètre, on préférera utiliser l'appellation de 105,7 années lumières
  • Si vous utilisez des clés USB ou des disques durs, les capacités qui mesurent en gigabits ou encore térabits

Yocto

Le yocto représente 10-24 fois l'unité de base, soit un quatrillionième. Il est représenté par un petit y.

Zepto

Le zepto, de symbole petit z est l'avant-dernière plus petite grandeur du Système International. Il représente un millième de milliardième de milliardième de l'unité de base, soit 10-21.

Atto

L'atto est un milliardième de milliardième. Il représente 10-18 fois l'unité de base du Système International. Il se note avec un petit a comme symbole.

Femto

De symbole petit f, le femto est le représentant de 10-15 fois l'unité du Système International. C'est donc un millionième de milliardième. Son origine est le mot femten, du danois qui signifie quinze.

Pico

Le pico représente 10-12 unités. C'est donc un billionième d'unité du Système International. Cette appellation provient de l'italien piccolo qui signifie petit. Son symbole est le petit p.

Nano

Cette unité, crée en 1960, tire son origine du mot nain en grec, nanos. Elle représente 10-9 unités du Système International, soit un milliardième d'unité. Il est représenté par un petit n en guise de symbole.

Micro

Le préfixe micro représente un millionième d'unité du Système International, soit 10-6. Il est représenté par la lettre µ, mu, en grec. Son nom provient du mot microscopique, qui signifie un élément tellement petit qu'on ne peut le voir qu'au microscope.

Milli

Le préfixe milli représente 10-3 unités du Système International, soit un millième. Il est représenté par un petit m.

Centi

Le centi représente un centième d'unité, soit 10-2. C'est donc un centième qui se note avec un petit c.

Déci

Le déci, de symbole petit d, est l'unité qui représente un dixième de l'unité de base du Système International. C'est donc 10-1 fois cette unité.

L'unité de base

Entre le déci est le déca se trouve l'unité de base du Système International. Cette dernière est égale aux nombres compris entre 0 et 10. Elle se note en ordre de grandeur 100, ce qui est égal à 1.

Déca

Le préfixe déca, de symbole da est à ne pas confondre avec le déci. Il représente bien 101, soit une dizaine de l'unité de base du Système International et non pas 10-1.

Hecto

Le préfixe hecto sert à désigner une unité de l'ordre de grandeur 102. Il représente donc une centaine de l'unité de base du Système International. Cette unité est peu couramment utilisée au quotidien. C'est dans le domaine de l'agroalimentaire qu'elle prend tout son sens. Son symbole est un petit h.

Kilo

Le kilo est l'unité qui représente le millier. D'ordre de grandeur 102, c'est l'une des plus utilisée dans notre vie quotidienne. Elle se note avec le symbole k et représente un millier d'unités de base.

Méga

L'unité définie par le méga se note avec un grand M et représente un million d'unités de base du Système International, c'est donc 106.

Giga

Le giga est un préfixe utilisé fréquemment en informatique. Il représente 109, c'est à dire un milliard d'unités du Système international. Son symbole est un grand G.

Péta

Le suffixe péta est là pour représenter un billiard, ou million de milliards de l'unité de base. C'est donc un nombre d'ordre de grandeur 1015. Il se note avec un grand P en guise de symbole.

Exa

L'exa représente un trillion de l'unité de base du Système International, soit un milliard de milliards. Son ordre de grandeur est 1018. Il est exprimé par le symbole d'une grande lettre E.

Zetta

Le zetta, est l'expression de 1021 unités de base du Système International. C'est donc un billion de billiards, aussi appelé trilliard. C'est une grandeur extrêmement grande et elle est l'avant dernière plus grande qui existe. Elle se note avec un grand Z.

Yotta

Le yotta est l'unité la plus grande qui existe au monde, elle représente un quadrillion, ou un billiard de milliars, soit 1024 unités de base. Cela signifie qu'un yotta est égal à un 1 suivi de vingt-quatre 0 ! Il se note avec un grand Y.

Quelques règles de calculs faisant intervenir des puissances de dix 💯

Multiplications faisant intervenir des puissances de dix

Lorsqu'une puissance de dix est élevée à un exposant, l'exposant de la puissance de dix est lui même multiplié par l'exposant auquel est élevée la puissance de dix. Cela suit donc la règle suivante :

(10a)b = 10axb

👉🏼 Quelques exemples d'applications :

Exemple 1 :   

Exemple 2 :   

Mise en pratique des puissances de dix 🧬

Écriture scientifique des valeurs

L'écriture scientifique est une technique utilisée pour représenter les nombre décimaux en les exprimant d'une certaine façon. L'écriture scientifique est de la forme a x 10n. Dans cette écriture, le nombre a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 exclu. Ce nombre est appelé mantisse. Le petit n est un entier relatif que l'on appelle l'exposant. Le chiffre avant la virgule est donc unique et non nul. Il est parfois suivi de décimales, d'autant que la précision sera élevée.

Astuce : Le nombre 0 ne peut-être représenté avec la notation scientifique.

La notation scientifique peut aussi aider les opérations car on peut facilement multiplier les mantisses ou additionner les exposants. Une autre notation peut aussi se retrouver, notamment dans les calculatrices scientifiques ou sur les ordinateurs. La lettre e comme exposant remplace le 10n. Par exemple 4e−3 = 4 × 10−3 = 0,004.

Ainsi, l'ensemble des exemples cités dans ce chapitre montrent clairement l'un des grands intérêts de l'utilisation des puissances de dix : elles permettent de simplifier l'écriture de très grandes valeurs ou de très petites valeurs. Ainsi, elles apportent un gain de temps considérable dans l'écriture des petites et grandes valeurs, et limitent également le risque d'erreur lors de la manipulation de ces données.

Par conséquent, elles sont très utilisées lorsqu'il s'agit d'exprimer une grandeur en notation scientifique. L'écriture en notation scientifique consiste tout simplement à écrire une valeur sous la forme : a*10 b

  • a est un nombre compris entre 0 et 10 (0 ≤ a < 10)
  • b est un entier relatif
Pourquoi est-il préférable d'utiliser la notation scientifique pour évoquer les distances dans l'univers ?
Pour évoquer certaines distances, telles que les distances dans l'univers, il sera parfois préférable d'adopter la notation scientifique

Estimation d'un ordre de grandeur

Les ordres de grandeur sont des puissances de 10 qui servent à exprimer des nombres très grands. Ils sont donc là pour aider à représenter une grandeur avec un nombre simple qui relève d'une approximation. Il représente la puissance de 10 la plus proche du nombre exact. Dans le cadre où une grandeur sera multipliée par 10, il conviendra de dire qu'elle a augmenté d'une grandeur.

L'utilisation des ordres de grandeur facilite aussi les comparaisons entre différents éléments tels que des planètes ou encore des rayons d'atomes. Elle permet aussi de savoir quel type d'appareil de mesure choisir pour réaliser des expériences. L'ordre de grandeur vous permettra aussi de vérifier la cohérence de vos calculs.

🌏 🌖 L'ordre de grandeur de la distance Terre-Lune est de 108m, car la distance Terre-Lune est de 384 000 km

💦 L'ordre de grandeur d'une molécule d'eau est de 10-10m, car sa taille est de 0.4 nm

Par ailleurs, elles présentent également un intérêt pour exprimer un ordre de grandeur. En effet, plutôt que de donner une valeur précise, on estime un ordre de grandeur pour cette valeur en lui attribuant la puissance de dix la plus proche.

En reprenant l'écriture de la notation scientifique : a*10 b

  • Si 0 ≤ a < 5 alors l'ordre de grandeur de a*10 b est 10 b
  • Si 5 ≤ a < 10 alors l'ordre de grandeur de a*10 b est 10 b+1

☀️ Prenons l'exemple du rayon du soleil : 695 700 km

695 700 km = 6,957 *105 km = 6,957*108 m

L'ordre de grandeur pour le rayon du soleil sera 109 m

Quel est l'ordre de grandeur du rayon du soleil ?
Le rayon du soleil est égal à 695 700 km soit 6,957*10^(9) mètres.

Remarques :

  • On pourra conclure que deux valeurs sont du même ordre de grandeur si le quotient entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite donne un résultat compris entre 1 et 10
  • Pour comparer deux valeurs, veiller à ce qu'elles soient converties dans la même unité.

Et vous, que connaissez-vous des puissances de 10 ?

Vous avez aimé cet article ? Notez-le !

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 4,24 (161 note(s))
Loading...

Yann

Fondateur de Superprof et ingénieur, nous essayons de rendre disponible la plus grande base de savoir. Passionné par la physique-chimie et passé par la filière scientifique au lycée, je partage mes cours (après les avoir mis à jour selon le programme de l’Éducation Nationale).