Chapitres
- 01. Comprendre les ensembles de nombres 🔢
- 02. Les nombres réels et leurs opérations respectives 🧮
- 03. Définitions pour les règlesde calcul 📚
- 04. Équations et inéquations 👩🏫
- 05. Les nombres majorants et minorants 🎓
- 06. Nombres complexes : définitions et règles de calcul 🤔
- 07. Le cas particulier d’un nombre complexe 🤯
- 08. Équations du second degré à coefficients réels 🔛
Développer, réduire et factoriser, kézako ? En mathématiques, développer, réduire et factoriser sont des concepts importants liés à la manipulation et à la simplification des expressions algébriques.
Plus précisément :
❎ Développer consiste à multiplier les termes
🔚 Réduire consiste à simplifier les termes similaires
🔄 Factoriser consiste à décomposer une expression en facteurs
📚 Ces concepts sont utilisés pour simplifier les expressions, résoudre des équations et résoudre des problèmes mathématiques plus complexes
Le développement d'une expression consiste à multiplier les termes en utilisant les règles de la distribution. Cela permet d'obtenir une expression plus détaillée en développant les produits.
👉🏼 Par exemple, développer l'expression (a + b)(c + d) donne ac + ad + bc + bd
La réduction d'une expression implique de simplifier les termes similaires. En combinant les termes identiques, on obtient une expression plus simple.
👉🏼 Par exemple, réduire l'expression 2x + 3x donne 5x
La factorisation est le processus inverse du développement. Elle consiste à décomposer une expression en un produit de facteurs. Cela permet de mettre en évidence les facteurs communs et de simplifier l'expression.
👉🏼 Par exemple, factoriser l'expression 2x² + 4x donne 2x(x + 2)
C'est parti pour plus de détails et d'informations sur les nombres et leurs équations de développement, réduction et factorisation.
Pour en savoir plus et vous entraîner déjà, voici une ressource :
Comprendre les ensembles de nombres 🔢
Les nombres sont la base des mathématiques, et les mathématiques sont la base de tout, c'est aussi simple que ça. Autant appréhender le plus possible les ensemble de nombres pour gagner en efficacité dans votre quotidien. Dans cette partie, nous vous détaillons :
- Les nombres entiers
- Les nombres entiers relatifs
- Les nombres rationnels
- Les nombres réels
Continuez votre lecture pour en découvrir plus !
Définition d'un ensemble de nombres
Il faut distinguer certains types d'écriture de nombres :
- N désigne l’ensemble des entiers naturels, on écrit N = {0, 1, 2, . . .}
- Z désigne l’ensemble des entiers relatifs, on écrit Z = {. . . ; −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
- Q désigne l’ensemble des nombres rationnels : Q = { a/b ; a ∈ Z, b ∈ N∗ }
- R désigne l’ensemble des nombres réels, on a : R∗ = R{0}
- R+ = {x ∈ R; x > 0} et R− = {x ∈ R; x 6 0}.
Tout élément appartenant à R et n’appartenant pas à Q est appelé "irrationnel" (√2 ∈ RQ signifie que √2 est un irrationnel).
C désigne l’ensemble des nombres complexes : C = {a + ib ; a ∈ R et b ∈ R} avec i² = −1
👉🏼 Voici quelques exemples :
- 0, 1, 2 sont des entiers naturels.
- -3, -2, 6 sont des entiers relatifs.
- 1/3 , 1/2 , −1, 2 sont des nombres rationnels.
- π, √2, e sont des nombres irrationnels.
- 1 + i, j = (1 + i√3) / 2 sont des nombres complexes.
⚠️ Remarque. On a les inclusions suivantes : N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R, R ⊂ C
L'ensemble des entiers naturels
En cours de maths, on suppose connu l’ensemble des entiers naturels ainsi que les opérations de base sur les nombres entiers naturels. Un principe très important portant sur l’ensemble des entiers naturels est le principe de récurrence.
Le principe de récurrence est ici considéré comme un axiome, il équivaut à une propriété caractéristique de l’ensemble N des entiers naturels que nous n’exposerons pas ici.
Récurrence faible des ensembles de nombres
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si pour tout entier naturel n > n0, la véracité de P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
⚠️ Remarque. On s’efforcera de rédiger une démonstration par récurrence en distinguant bien les trois étapes nécessaires à la preuve de la propriété, ces étapes sont :
- L’initialisation
- L’hérédité
- La conclusion
Cette dernière étape est souvent "oubliée" mais pourtant incontournable, vous voilà prévenus !
✅ Prenons un exemple concret. Démontrons par récurrence que pour tout entier n > n0, P(n) vraie.
- Initialisation : P(n0) vraie
- Hérédité : soit n > n0, supposons P(n) vraie, . . ., donc P(n + 1) vraie.
- Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, on conclut par récurrence que : ∀n > n0, P(n).
Récurrence forte
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1), . . . , P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
Récurrence à deux pas
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
Remarque
- On utilise la récurrence uniquement quand la propriété à démontrer dépend d’un entier naturel
- Les principes de récurrence forte ou à deux pas sont des conséquences immédiates du principe
de récurrence faible - Avant d’essayer une récurrence il est bon de voir s’il n’existe pas une preuve directe souvent
plus rapide
Notation
Étant donné deux entiers naturels n et p avec n ≤ p, on notera [n, p] l’ensemble des entiers naturels compris entre n et p. On adoptera la dénomination : « l’intervalle d’entiers compris entre n et p » pour le décrire.
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Les nombres réels et leurs opérations respectives 🧮
L'addition
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a + b = b + a (commutativité)
- (a + b) + c = a + (b + c) (associativité)
On dit que l’addition des nombres réels est commutative et associative.
La multiplication
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a × b = b × a (commutativité)
- (a × b) × c = a × (b × c) (associativité)
La multiplication des réels est aussi commutative et associative.
- Soient a et b deux réels, on a : a × b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0
- Soient a, b et c trois réels, on a :
- a × (b + c) = a × b + a × c (distributivité à gauche)
- (a + b) × c = a × c + b × c) (distributivité à droite)
C’est la distributivité de la multiplication sur l’addition des nombres réels.
Règle de calculs sur les quotients
Soient a, b, c et d quatre nombres réels avec b et d non nuls, on a :
- a/b + c/d = (ad + bc)/bd
- a/b × c/d = ac/bd
- a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc si c ≠ 0
Valeur absolue
Soit x un réel, on notera |x| =
- x si x > 0
- −x si x < 0
⚠️ Remarque :
- Sur un axe gradué, |x| est la distance du point d’abscisse x à l’origine de l’axe.
- De la même façon |a − b| est la distance séparant les points d’abscisses respectives a et b sur un
axe gradué.
Théorème : Inégalité triangulaire
Soient x et y deux nombres réels, on a :
||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
Avec égalité en (1) ssi xy ≤ 0 et égalité en (2) ssi xy ≥ 0
Calcul avec radicaux
- Soient x et y deux réels positifs, on a : √xy = √x √y.
- Soit x un réel positif, √x² = x.
- Soit x un réel quelconque, √x²0 = |x|.
Attention, ce dernier point est un écueil sur lequel échouent bien des étudiants débutants... Vous voilà prévenus.
Identités remarquables
Pour tous réels a et b on a :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
Définitions pour les règlesde calcul 📚
Pour rappel :
- Développer c'est transformer un produit en somme
- Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun
- Réduire c'est effectuer dans une expression littérale des calculs possibles
👉🏼 On peut utiliser la distributivé de la multiplication.
[ k times left( a + b right) = k times a + k times b ]
[ k times left( a - b right) = k times a - k times b ]
[ left( a + b right) times left(c + d right) = a times c + a times d + b times c + b times d ]
[ left(a - b right) times left(c + d right) = a times c + a times d - b times c - b times d ]
[ left(a + b right) times left(c - d right) = a times c - a times d + b times c - b times d ]
[ left(a - b right) times left(c - d right) = a times c - a times d - b times c + b times d ]
Exemple de réduction
[ text { A } = 2 times x ^ { 2 } + 3 times x - 1 - 2 times x + 2 times 4 times x - 8 + x times y ]
[ = 2 times x ^ { 2 } + 3 times x - 1 - 2 times x + 8 times x - 8 + x times y ]
[ = left( 2 times x ^ { 2 } - x ^ { 2 } right) + left( 3 times x + 8 times x) + left(1 - 8 right) + x times y ]
[ = x ^ { 2 } + 11 times x - 9 + x times y ]
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Développer puis réduire
a) Première option :
[ 2 times x times left( 3 times x + 1 right) = 2 times x times 3 + 2 times 1 ]
[ = 6 times x ^ { 2 } + 2 times x ]
[ = 2 times x times left( 3 times x + 1 right) ]
[ k times left(a + b right) = k times a + k times b ]
[ = 2 times x times 3 + 2 times x times 1 ]
b) Deuxième option :
[ left(x + 1 right) times left(x + 2 right) = left( x times x right) + left( x times 2 right) + left( 1 times 2 right) + left( 1 times 2 right) ]
[ = x ^ { 2 } + 2 times x + x + 2 ]
[ = x ^ { 2 } + 3 times x + 2 ]
Factoriser
[ 2 times x ^ { 2 } + 6 times x = 2 times x times left( x + 3 right) ]
[ k times a + k times b = k times left( a + b right) ]
On peut vérifier en développant le résultat obtenu.
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Partie entière
Soit x un réel, il existe un unique nombre entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1.
Ce nombre n est appelé partie entière de x et sera noté ⌊x⌋.
Équations et inéquations 👩🏫
Les différents types d’intervalles de nombres réels :
- [a, b] (fermé borné), contient tous les réels compris entre a et b inclus.
- ]a, b[ (ouvert borné), idem mais a et b exclus.
- ]a, b] (resp. [a, b[) (semi-ouvert borné), contient tous les réels strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b (resp. réels supérieurs ou égaux à a et strictement inférieurs à b).
- [a, +∞[ (resp. ] − ∞, b]) (semi-ouvert non borné), contient tous les réels supérieurs ou égaux à a (resp. réels inférieurs ou égaux à b).
- ]a, +∞[, ]−∞, b[ ou ]−∞, +∞[ (ouvert non borné) idem que précédemment avec des inégalités strictes.
Équation du premier et second degré
Quelques basiques sont à retenir :
- Une égalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’égalité
- Une égalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres
de l’égalité. - Soient a et b deux réels avec a non nul, l’équation ax + b = 0 possède une unique solution : x = −b/a
On considère l’équation ax2 + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul. Le nombre b² − 4ac est appelé discriminant de l’équation, il est noté ∆. On rappelle alors le résultat suivant :
- Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (− b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
- Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a
⚠️ Remarque, dans le cas où ∆ > 0 on a le résultat suivant :
- x1 + x2 = −b/a
- x1 × x2 = c/a
Ceci permet, une solution étant connue, de déterminer l’autre très rapidement.
Inéquations
Il faut retenir certains basiques concernant les inégalités :
- Une inégalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’inégalité
- Une inégalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement positif
les deux membres de l’inégalité - Une inégalité change de sens lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres de l’inégalité
Les nombres majorants et minorants 🎓
Généralités
On considère une partie A de R.
- S’il existe M ∈ R tel que ∀x ∈ A, x 6 M alors on dit que A est majorée par M et M est un majorant de A.
- S’il existe m ∈ R tel que ∀x ∈ A, x > m alors on dit que A est minorée par m et m est un minorant de A.
- Si A est majorée et minorée alors on dit que A est bornée.
Gardez à l'esprit que les réels m et M ci-dessus n’appartiennent pas nécessairement à la partie A.
👉🏼 Prenons un exemple : la partie A = { 1/n ; n ∈ N∗} est bornée par 0 et 1
Définitions
- S’il existe α ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≤ α alors on dit que α est le plus grand élément de A. On note α = max(A).
- S’il existe β ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≥ β alors on dit que β est le plus petit élément de A. On note β = min(A).
Une partie de R n’admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément
Borne supérieure et borne inférieure
Soit A une partie de R, notons M+ (resp. M−) l’ensemble des majorants (resp. minorants) de A.
- Si M+ possède un plus petit élément alors c’est le plus petit des majorants de A, on l’appelle la borne supérieure de A, notée sup(A)
- Si M− possède un plus grand élément alors c’est le plus grand des minorants de A, on l’appelle la borne inférieure de A, notée inf(A)
Théorème
- Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.
- Toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.
Caractérisation des bornes sup et inf
Soit A une partie non vide et majorée de R et α ∈ R.
- α = sup(A) ⇐⇒
- ∀x ∈ A, x ≤ α
- ∀ε > 0, ∃x ∈ A, α − ε < x ≤ α
Soit A une partie non vide et minorée de R et β ∈ R.
- β = inf(A) ⇐⇒
- ∀x ∈ A, x ≥ β
- ∀ε > 0, ∃x ∈ A, β ≤ x < β + ε
Nombres complexes : définitions et règles de calcul 🤔
On admet l’existence d’un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, contenant R et un nombre non réel noté i vérifiant i² = −1.
C est l’ensemble des nombres s’écrivant sous la forme z = a + ib où a et b sont des nombres réels. Cet ensemble est structuré par une addition et une multiplication induites par l’addition et la multiplication dans R.
C = {a + ib ; (a, b) ∈ R²}
L’écriture z = a + ib d’un nombre complexe (où a et b sont des réels) est appelée forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z.
👉🏼 Notations : a = Re(z) et b = Im(z)
Deux nombres complexes sont égaux si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire,
à savoir : a + ib = a' + ib' ⇐⇒ a = a' et b = b'.
Conséquences :
- un complexe est nul si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles ;
- la forme algébrique d’un nombre complexe est unique.
∀(z, z') ∈ C² , zz' = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z' = 0
Le cas particulier d’un nombre complexe 🤯
Définition et propriétés
Un nombre complexe qui s’écrit iy avec y ∈ R est appelé imaginaire pur.
Conséquences :
- Un complexe est réel si sa partie imaginaire est nulle ;
- Un complexe est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
On note iR l’ensemble des imaginaires purs.
Soit z = x+iy un complexe sous forme algébrique
Le nombre x−iy noté z¯ est appelé conjugué de z. z¯ = x − iy
Caractérisation des réels et des imaginaires purs
- Soit z ∈ C
- z ∈ R ⇐⇒ z = ¯z
- z ∈ iR ⇐⇒ z = −z¯
Attention, Soient a et b deux complexes, a − ib n’est pas le conjugué de a + ib.
Interprétation géométrique de la conjugaison
Soit M un point d’affixe z dans le plan complexe.
Le point M' d’affixe z' est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses du repère
⚠️ Remarque : la conjugaison est donc interprétée en termes de symétrie axiale dans le plan complexe
Par suite il est facile de voir que le conjugué du conjugué d’un complexe z est égal à z. On dit que la conjugaison est une involution.
Équations du second degré à coefficients réels 🔛
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul. On pose ∆ = b² − 4ac et l’on a :
- Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (−b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
- Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a.
- Si ∆ < 0 alors l’équation possède deux solutions qui sont des nombres complexes conjugués :
x1 = (−b − i√|∆|) / 2a et x2 = (−b + i√|∆|) / 2a.
On dispose d’un résultat permettant la factorisation de l’expression ax² + bx + c = 0 si a non nul.
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
- Si l’équation possède deux solutions réelles ou complexes x1 et x2 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
- Si l’équation possède une solution x0 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x0)²
Il faut savoir, dans le cas où ∆ ≠ 0 on a le résultat suivant :
- x1 + x2 = −b/a
- x1 × x2 = c/a
Vous voilà incollable sur les nombres et leurs équations de factorisation, réduction et développement !
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E=15-3(x+1)²
1.Développe et réduis E
2.calcule la valeur numérique de x=√3