Chapitres
Introduction
L'equation x²=a, lorsque a<0 , n'a pas de solution réelle. On adopte un nombre dont le carré vaut (-1). (Ce n'est pas une réel).
Ce nombre n'est pas noté √(-1) car il ne coinciderait pas avec les formules sur les racine carré.
√(ab) = √(a) √(b) , D'une part : √(-1)(-1) = √(1)
√(-1) * √(-1) = (√(-1))² = -1
Ce nombre dont le carré vaut (-1) sera noté i
i²=-1 |
x²=a , a<0
x²=-(-a)
x²=i² * (-a)
x=i√(-a) ou x=-i√(-a)
Ecriture algébrique des nombres complexes
Définition : Tout nombre complexe en écriture algébrique est de la forme
a+ib , a Є IR
b Є IR
L'ensemble de tous les nombres complexes noté ¢
Exemple : z=2-√(3)i complexe en forme algébrique
z=-3 z Є IR , z Є Z (l'ensemble)
z Є ¢ a=-3 b=0
z=-(1/7)i écriture algébrique a=0 b=-1/7
Vocabulaire : z=a+ib
. a s'appelle la partie réelle de z : a=Re(z)
. b s'appelle la partie imaginaire de z : b=Im(z)
. z Є IR <=> m(z)=0
. z est imaginaire pur <=> Re(z)=0
Théorème (admis) :
. Deux complexe sont égaux <=> leur partie réelles égales
<=> leur partie imaginaire sont égales
a Є IR, b Є IR, a' Є IR, b' Є IR
a+ib=a'+ib' <=> a=a' b=b'
. Un complexe est nul <=> ses partie réell et imaginaire sont nulles
a+ib=0 <=> a=0 b=0
Calculs sur les complexes :
On admet qu'on peut additionner, soustraire, multipliée et appliquer les identité remarquable comme avec les réels.
z1=1-2i z2=3+4i
z1+z2 ; z1-z2 ; z1z2 ; z1² ; √(2) z1-z2
⧫z1+z2=1-2i + 3+4i=4+2i
⧫z1-z2=-2-6i
⧫z1z2=11-2i (on a i²=1)
⧫z1²=-3-4i
⧫√(2) z1-z2=√(2)-6 + i(-2√(2)-8)
√(2)-6 est la partie réel
(-2√(2)-8) est la partie imaginaire
Cas l'inverse et du quotient
1/z1 = 1/(1-2i)
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de 1-2i qui est 1+2i.
=(1+2i) / (1-2i)(1+2i)
=(1+2i) / (1²-(2i)²)
=(1+2i) / 5
1/z1 = 1/5 + (2/5)i
1/5 est la partie réel et (2/5)i est la partie imaginaire
z1/z2= (1-2i) / (3+4i)
= [(1-2i)(3-4i)] / [(3-4i)(3-4i)]
= (3-4i-6i-8) / (9+16)
= (-5-10i) / 25
=-(1/5)-(2/5)i
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !