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Descriptions de quelques écoulements

L'écoulement laminaire

Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier.

Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations.

Comment s'écoule l'eau dans un tuyau ?
Lorsque que l'eau s'écoule dans un tuyau sous très haute pression, des phénomènes physiques particuliers s'exercent.

L'écoulement laminaire d'un point de vue microscopique

Il est toujours intéressant d'apporter un point de vue microscopique à une réflexion. en effet, alors que rien ne se voit d'un point de vue macroscopique, il peut se passer beaucoup de chose dans le monde du très petit.

Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. Par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique.

Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse.

L'écoulement laminaire d'un point de vue macroscopique

Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée.

De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité.

Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire.

Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu.

Le nombre de Reynolds, noté Re, correspond à un nombre sans dimension qui est utilisé en mécanique des fluides. Cette grandeur permet alors de caractériser un écoulement, en particulier la nature de son régime. Il est ainsi possible de savoir si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.

Le régime turbulent

Lorsque vous subissez des turbulences en plein vol, c'est tout simplement que votre avion entre dans une zone où le flux d'air provoque une zone d'écoulement turbulent.

Le terme turbulence correspond à l'état de l'écoulement d'un fluide, qu'il soit liquide ou gaz, au sein duquel la vitesse présente un caractère tourbillonnaire. On entend par là la présence de tourbillons dont la taille, la localisation mais également l'orientation vont, de façon constante, varier.

On peut caractériser un écoulement turbulent par une apparence très désordonnée mais également par un comportement qui restera difficilement prévisible et par l'existence de nombreuses échelles spatiales et temporelles.

Il est possible de voir apparaître ce type d'écoulement dans le cas où la source d'énergie cinétique, qui provoque la mise en mouvement du fluide, est relativement intense devant les forces de viscosité que le fluide va opposer pour se déplacer. On peut alors opposer cet écoulement au régime laminaire qui est régulier.

Pour étudier le comportement complexe des écoulements turbulent, il faut, dans la plupart des cas, utiliser la voie statistique. En effet, on peut, de ce fait, considérer que cette étude fait partie intégrante de la physique statistique afin de traduire que, lors d'un écoulement, les forces d'inertie l'emportent sur les forces de viscosité.

Écoulement de Poiseuille et loi de Poiseuille

La loi de Poiseuille, que l'on appelle aussi loi de Hagen-Poiseuille, permet de décrire ce que l'on appelle écoulement laminaire, c'est à dire un écoulement sous la forme de filets de liquide parallèles, d'un liquide visqueux au sein d'une conduite cylindrique. On appelle logiquement écoulement de Poiseuille tout écoulement qui suit une loi de Poiseuille.

De façon générale, la loi de Poiseuille permet de décrire de façon théorique la relation existante entre le débit d'un écoulement et la viscosité d'un fluide, mais aussi la différence de pression aux extrémités de la canalisation ainsi que la longueur et le rayon de cette même canalisation.

Écoulement torrentiel et fluvial

On parle d'écoulement torrentiel et d'écoulement fluvial dans le cas d'un équilibre de l'écoulement d'un liquide dans un canal ou encore un cours d'eau ou une conduite à la surface libre.

De façon plus précise, on parle d'écoulement torrentiel dans le cas où le nombre de Froude est supérieur à 1, ce qui signifie alors que la vitesse du courant est supérieure à la vitesse d'une vague de liquide étudié. Dans le cas contraire, on parle d'écoulement fluvial.

Notons qu'il est possible de passer d'un régime torrentiel à un régime fluvial lorsqu'il y a un ressaut hydraulique, ce qui signifie qu'il y a une élévation du niveau d'eau ou encore lorsqu'il y a une dissipation d'énergie. Il est d'ailleurs possible d'observer ce phénomène dans un évier de cuisine.

Comment s'écoule l'eau d'un fleuve ?
Lorsque que de l'eau s'écoule de manière linéaire et sans vague, on peut la comparer à l'écoulement d'une rivière.

Écoulement polyphasique

On parle d'écoulement polyphasique lorsque l'on observe un écoulement de fluide comportant plusieurs phases. On peut, par exemple, étudier le comportement d'un fluide qui comporte en son sein des bulles de gaz ou encore étudier le comportement d'un mélange de deux fluides non miscibles.

Écoulement et viscosité : quelques informations à connaître

On appelle viscosité l'ensemble des phénomènes de résistance à l'écoulement qui peuvent se produire dans la masse d'une matière dans le cas d'un écoulement que l'on considère comme étant uniforme et sans turbulence. De façon logique, plus la viscosité sera élevée, plus la capacité que possède le fluide à s'écouler facilement va diminuer. De plus, lorsque la viscosité est élevée, l'énergie qui sera dissipée par l'écoulement sera importante.

La viscosité de cisaillement, qui peut être comprise comme une résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres, englobe plusieurs grandeurs physiques qui permettent de la caractériser :

  • La viscosité dynamique qui est la grandeur la plus utilisée. En effet, on se réfère généralement à cette grandeur lorsque l'on parle de viscosité sans précision. Elle permet de faire le lien entre la contrainte de cisaillement et le gradient transversal de la vitesse d'écoulement dans la matière. C'est donc pour cela que l'on appelle cette grandeur vitesse dynamique.
  • La viscosité cinématique, cette grandeur peut être déduise de la vitesse dynamique ;
  • La seconde viscosité qui caractérise la résistance du fluide à des variations de volume ;
  • Et pour finir, la viscosité de volume qui correspond à la combinaison de la viscosité dynamique et la seconde viscosité.

De ce fait, on peut considérer la viscosité comme correspondant à une quantité tensorielle bien qu'il reste possible que, selon les cas, on puisse exprimer cette grandeur sous la forme d'une grandeur scalaire.

La viscosité (de cisaillement) peut être vue comme la résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres.

En ce qui concerne les liquides, alors que l'inverse est vrai pour les gaz, la viscosité va tendre, de façon générale, à diminuer lorsque la température va augmenter. De plus, croire que la viscosité d'un fluide donné augmente avec la densité est faux car ce n'est pas nécessairement vrai. On peut en effet prendre l'exemple de l'huile qui, pourtant moins dense que l'eau (0,92 pour l'huile de Colza à 20°C et 1 pour l'eau à 20°C) alors que l'huile est, de façon très nette, plus visqueuse que l'eau.

Pour ce qui est des huiles de mécaniques, elles seront classées selon leur viscosité puisque l'huile utilisée dans les moteurs va varier selon les besoins de lubrifications de celui-ci mais aussi selon les températures auxquelles l'huile mécanique sera soumise lorsque le moteur sera en marche.

Comment choisir son huile ?
La viscosité d'une huile est une caractéristique très importante en mécanique. En effet, le comportement du moteur et sa lubrification dépendent de la capacité de l'huile à se liquéfier lors des frottements et de la montée en température.

La viscosité peut varier

Comme expliqué précédemment, la viscosité d'un fluide varie selon la température, mais aussi les actions mécaniques auxquelles ce fluide est soumis. Ainsi, afin de déterminer l'importance de l'effet de la température sur la viscosité d'un fluide, on va utiliser un indice appelé indice de viscosité. De façon logique, plus cet indice est grand, moins la température aura une influence sur la viscosité du fluide étudié.

La viscosité dynamique

La viscosité dynamique peut alors être définie en considérant deux couches d'un fluide que l'on nommera abcd et a'b'c'd' en sachant que la couche abcd est animée d'une vitesse relative à a'b'c'd' que l'on notera dv qui sera dirigée selon x. On considère également une force de frottement notée F comme s'exerçant sur la couche a'b'c'd' séparée de dz.

Ainsi, la viscosité dynamique, que l'on note η ou µ, est présente au sein de la relation entre la norme de la force de frottement F et le taux de cisaillement dv/dz. On à obtient alors : avec S correspondant à la surface de chaque couche de liquide.

L'analyse dimensionnelle de la viscosité dynamique donne donc, de façon logique :

Si on souhaite utiliser les unités du système international d'unité, la viscosité dynamique possède la pascals secondes, noté Pa.s, en unité. Auparavant, on utilisé le poiseuille, noté Pl, qui présentait la même valeur que le pascals secondes.

Une ancienne unité du système CGS pour la viscosité dynamique était la poise, notée Po, donc la correspondance était :

Ainsi, la viscosité de l'eau à 20°C correspond à 1 centipoise, noté cPo, ce qui correspond à 1 mPa.s.

La fluidité

La fluidité correspond à l'inverse de la viscosité dynamique.

La viscosité cinématique

Il est possible d'obtenir la viscosité cinématique, noté ν, en divisant la viscosité dynamique par la masse volumique, notée ρ, du fluide. On obtient alors la relation suivante :

Son unité, le mètre carré par seconde, noté n².s-1, correspondant, dans l'ancien système CGS comme étant le stokes ou centistokes notés respectivement St et cSt.

La conversion est très rapide car : et

La seconde viscosité

La seconde viscosité correspond au second paramètre scalaire qui permet de caractériser de façon complète un fluide considéré comme étant newtonien.

Elle est cependant omise dans la littérature puisque, pour la plupart des fluides usuels, il manque la caractérisation des fluides en ce qui concerne leur approximation newtonienne.

La viscosité de volume

La viscosité de volume correspond à une fonction linéaire des viscosités principale et seconde viscosité.

On a ainsi :

La viscosité élongationnelle

On considère la viscosité élongationnelle comme étant une viscosité qui apparaît lorsqu'une contrainte élongationnelle s'applique au fluide étudié.

Cinématique des fluides

Le modèle du fluide continu

  • Définition d'un fluide : ensemble de molécules très nombreuses, mobiles les unes par rapport aux autres.
  • On distingue :
    • les liquides : faiblement compressibles donc possèdent un volume propre.
    • les gaz : fortement compressibles, occupent tout le volume qui leur est offert.
  • Libre parcours moyen : c'est la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs. Ordre de grandeur : quelques centaines de nanomètres pour un gaz dans des conditions ordinaires de pression et température, quelques nanomètres pour un liquide.
  • Modèle du fluide continu :
    • on n'étudie pas individuellement le mouvement de chaque molécule.
    • Les grandeurs physiques définies dans le fluide sont des moyennes sur des éléments de volume dτ mésoscopiques (typiquement 1 μm3), c'est à dire petits devant les dimensions macroscopiques pour que les grandeurs physiques ainsi définies soient locales, et de dimensions très supérieures au libre parcours moyen afin que le nombre de chocs dans l'élément de volume soit suffisamment grand pour pouvoir définir les grandeurs thermodynamiques telles que pression et température.
    • La distance moyenne entre les molécules étant inférieure au libre parcours moyen, les valeurs moyennes sur les éléments de volume mésoscopiques dτ se font sur un très grand nombre de molécules. C'est l'approximation des milieux continus.

Champ des vitesses dans un fluide

Description de Lagrange

  • Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques, qui avancent en même temps que le fluide.
  • La description lagrangienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points attachés à la matière : c'est la description utilisée en mécanique du point.
  • Soit M un point du fluide de coordonnées x, y et z. On a alors x(t), y(t) et z(t).
  • On appelle particules de fluide ces éléments de volume physiquement fermés à l'échelle mésoscopique.
  • On connait la définition du vecteur vitesse d'un point : c'est la dérivée par rapport au temps du vecteur position (voir cours de mécanique du point).
  • Le vecteur vitesse d'une particule de fluide est défini, comme toutes les grandeurs physiques dans le fluide, en valeur moyenne sur l'élément de volume. Il se confond donc avec la vitesse de son centre d'inertie, d'après les relations barycentriques.

Description d'Euler

  • Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques fixes dans le référentiel d'étude donc physiquement ouverts si le fluide bouge.
  • La description eulérienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points fixes du référentiel : c'est la description utilisée en électromagnétisme.
  • Soit M un point de l'espace de coordonnées x, y et z. On a alors x, y , z et t indépendants.

Choix de la représentation

  • La description lagrangienne est bien adaptée à l'écriture des définitions et théorèmes de la mécanique.
  • La description eulérienne est bien adaptée pour effectuer des analogies avec l'électromagnétisme (établissement d'équations locales faisant intervenir la divergence et le rotationnel).
  • On utilisera dans la suite une description eulérienne mais il ne faudra pas perdre de vue la réalité de la mécanique lagrangienne.

Vitesse d'une particule de fluide

  • En description lagrangienne, le vecteur vitesse d'un point M du fluide a déjà été identifié au vecteur vitesse de la particule de fluide qui l'entoure.
  • En description eulérienne, le vecteur vitesse de M à un instant t n' a pas d'intérêt puisqu'il est fixe. On définit en fait le vecteur vitesse en M à l'instant t comme le vecteur vitesse de la particule de fluide qui se trouve en M à l'instant t.
  • A chaque instant, les lignes de champ des vitesses (appelées lignes de courant) dans les deux descriptions coïncident.
  • Dans le cas général, une ligne de courant ne s'identifie pas à la trajectoire d'une particule. La trajectoire d'une particule est l'ensemble des positions occupées par la particule au cours du temps. Les lignes de courant correspondent à une photo instantanée du champ des vitesses.

Dérivée particulaire d'un champ

Définition

  • La dérivée particulaire d'une grandeur physique définie par le champ G(M,t) est la dérivée par rapport au temps de cette grandeur considérée comme attachée à la particule de fluide en M à t (masse volumique ou vitesse par exemple ).

Expression en description eulérienne

  • Pour dériver G, il faut tenir compte du fait que le champ peut varier au cours du temps en chaque point de l'espace et du fait que la particule voit une variation du champ à cause de son déplacement pendant dt.
  • La dérivée particulaire ou dérivée totale est la somme d'une dérivée locale et d'une dérivée convective.

Application à l'accélération

  • L'accélération est, par définition de la mécanique, la dérivée particulaire de la vitesse.
  • L'accélération est donc la somme de l'accélération locale et de l'accélération convective.
  • Formule utilisant le vecteur tourbillon.
  • Exemple : cas d'un écoulement stationnaire orthoradial
    • Calcul de l'accélération en description lagrangienne (exceptionnel dans ce cours).
      • détermination de la trajectoire et du mouvement d'une particule de fluide,
      • passage à l'accélération.
    • Calcul de l'accélération en description eulérienne, avec puis sans le vecteur tourbillon.
    • Cas particulier d'un liquide en équilibre en  relatif dans un récipient en rotation.

Equation locale de conservation de la masse

Débit volumique.

  • Par définition, c'est le volume de fluide qui traverse une surface orientée par unité de temps.
  • Par le calcul, on obtient le flux du vecteur vitesse à travers cette surface.

Remarque : le débit volumique dépend donc de la surface.

Débit massique, densité de courant

  • Par définition, c'est la masse de fluide qui traverse une surface orienté par unité de temps.
  • Par le calcul, on obtient le flux du vecteur densité de courant à travers cette surface.
Remarque : le débit massique dépend donc de la surface.

Bilan de conservation de la masse

  • Formulation intégrale.
  • Equation locale de conservation (équation de continuité)

Classification des écoulements laminaires

Distinction entre écoulement laminaire et écoulement turbulent

  • Ecoulement laminaire : c'est un écoulement pour lequel les lignes de courant sont régulières. Les tubes de courant glissent les uns sur les autres.
  • Ecoulement turbulent : c'est un écoulement pour lequel les particules de fluide ont un mouvement très désordonné dans le temps et dans l'espace.

Ecoulements stationnaires

Définition

  • Dans un référentiel donné, un écoulement est stationnaire ou permanent si l'ensemble des champs définis dans le fluide sont indépendants du temps.
  • Attention, Il ne faut surtout pas en déduire que l'accélération en tout point est nulle. C'est l'accélération locale qui est nulle.

Conséquences

  • Le vecteur densité de courant est à flux conservatif.
    • Le débit massique est donc conservé le long d'un tube de champ.
    • Le débit massique ne dépend pas de la surface, on peut définir le débit massique à travers un contour.
  • Les lignes de courant sont confondues avec les trajectoires des particules de fluide (et uniquement dans ce cas).

Ecoulements incompressibles

Définition

  • Un écoulement est incompressible si les particules de fluide conservent leur volume en se déplaçant, c'est à dire si la dérivée particulaire de la masse volumique est nulle.

Cas pratiques

  • L'écoulement d'un liquide (fluide incompressible) est forcément incompressible.
  • L'écoulement d'un gaz (fluide compressible) en régime stationnaire à des vitesses inférieures à la vitesse du son (écoulement subsonique) peut être considéré comme incompressible. (admis)

Conséquences

  • Dans un écoulement incompressible, la divergence du champ des vitesse est nulle en tout point.
  • Interprétation physique de div v en terme de ligne de champ :
    • Le champ des vitesses dans un écoulement incompressible est à flux conservatif, donc
      • le débit volumique est conservé le long d'un tube de champ des vitesses,
      • la vitesse est plus élevée dans les zones où les lignes de champ se ressèrent.
    • Les lignes de champs ne peuvent ni diverger d'un point, ni converger vers un point dans le cas d'un écoulement incompressible.
  • Interprétation physique de div v en terme de compressibilité :
    • Si une particule en un point M d'un écoulement se dilate, son volume augmente, donc le débit volumique à travers une surface élémentaire mathématique fixe qui entoure M est strictement positif. Par définition de l'opérateur divergence, la divergence en M de la vitesse est strictement positive.
    • En un point M où la divergence du vecteur vitesse est nulle, la particule ne se dilate pas et ne se comprime pas.

Ecoulements irrotationnels

Définition

  • Un écoulement est irrotationnel si le champ des vitesses est à rotationnel nul dans tout l' espace. Le vecteur tourbillon est donc nul dans tout l'espace.

Conséquences

  • Dans le cas d'un écoulement irrotationnel, on peut introduire un potentiel des vitesses.
  • Equation vérifiée par le potentiel des vitesses dans le cas d'un écoulement incompressible irrotationnel : équation de Laplace
  • Interprétation physique de rot v en terme de ligne de champ :
    • dans un écoulement irrotationnel, aucune ligne de champ des vitesse ne se referme sur elle-même,
    • dans un écoulement quelconque, les lignes de champ des vitesses enlacent les vecteurs tourbillon.
  • Interprétation physique de rot v en terme de tourbillon :
    • Si une particule en un point M d'un écoulement tourne sur elle même en avançant, sans se déformer, le vecteur tourbillon en ce point est égal au vecteur rotation instantané de la particule.
    • Quand rot v est non nul, l'écoulement est dit tourbillonnaire.

Actions de contact dans les fluides

Fluide statique (rappel de PCSI)

Définition de la pression à l'échelle mésoscopique.

  • Un fluide est statique ou au repos si son champ des vitesses est identiquement nul.
  • Soit un élément de surface matériel dS en contact avec un fluide. On constate expérimentalement que le fluide qui est en contact avec la surface exerce sur cette surface une force dont la norme est proportionnelle à dS.
  • On constate expérimentalement que dans tous les fluides, visqueux ou non (voir plus loin), cette force est normale à la surface, quelle que soit l'orientation de la surface (propriété d' isotropie).
  • La norme de cette force par unité de surface est appelée pression : elle ne dépend que de la position du point où a été placée la surface.

Equivalence volumique des forces de pression

  • Echelle mésoscopique :
    • la résultante des forces de pression qui s'exercent sur un petit élément de volume mésoscopique plongé dans un fluide est proportionnel à cet élément de volume : ceci permet de considérer que les forces surfaciques de pression sont équivalentes à un force volumique.
    • La densité volumique de force équivalente aux forces de pression est égale à l' opposé du gradient de pression.
  • Echelle macroscopique :
    • La résultante des forces de pression qui s'exercent sur un système non élémentaire plongé dans un fluide peut se calculer
      • par intégrale des forces surfaciques de pression, sur toute la surface qui délimite le système,
      • par intégrale des forces volumiques équivalentes, sur tout le volume du système.
    • On retrouve cette équivalence de calcul par une technique mathématique de passage de l'intégrale de surface à l'intégrale de volume.

Cas particulier d'un champ de pression uniforme

  • L'équivalent volumique des forces de pression est nul.
  • La résultante des forces de pression sur n'importe quel volume fermé est nulle.

Fluide en mouvement

Définition de la pression et de la viscosité à l'échelle mésoscopique

  • Soit un élément de surface mathématique dS pris sur un tube de courant. La résultante des actions de contact que le fluide d'un côté de dS exerce sur le fluide de l'autre côté de dS est proportionnelle à dS. Cette résultante par unité de surface est appelée contrainte.
  • Cette résultante se décompose en une composante normale dite force de pression, identique à la force de pression introduite précédemment, et une composante tangentielle dite force de viscosité, qui traduit le frottement entre les couches de fluide.
  • Etude du cas particulier d'un écoulement unidimensionnel de la forme v = vx(y) Ux (écoulement dit "de cisaillement"). On constate expérimentalement que, pour des fluides dits "newtoniens" :
    • la norme de la force de viscosité qui s'exerce sur une surface élémentaire est proportionnelle à cette surface et à la dérivée de vx(y) par rapport à y. Le coefficient de proportionnalité est le coefficient de viscosité η (éta) (loi de Newton).
    • le sens de cette force de viscosité tend à homogénéiser le champ des vitesses.
  • Le coefficient de viscosité est positif et est caractéristique du fluide.
  • Le coefficient de viscosité s'exprime en poiseuille (symbole Pl) dans le système international.
  • Ordres de grandeur :
η=10-5 Pl pour l'air
η=10-3 Pl pour l'eau
η=10-1 Pl pour l'huile
η=1 Pl pour la glycérine ou le miel
  • L'expression de la norme de la force de viscosité rappelle par sa forme les lois de Fick et de Fourier qui traduisent des phénomènes de diffusion.

Interprétation microscopique de la pression et de la viscosité

  • En dehors de l'échelle microscopique, le fluide apparaît comme un milieu continu de matière, et on ne perçoit que des mouvements d' ensemble de matière (mouvements convectifs) définis par le champ des vitesses. C' est avec cette vision du fluide qu'il faut considérer les particules de fluide comme fermées.
  • A l'échelle microscopique, les fluctuations des vitesses des molécules par rapport aux vitesses moyennes du champ des vitesses font que les particules de fluide ne sont en fait pas fermées.
  • On verra plus loin qu'un système mécanique ouvert semble subir, en plus des forces usuelles, des forces surfaciques supplémentaires dont la résultante s'appelle force de poussée. C'est le principe de la propulsion par réaction.
  • Les particules de fluide étant microscopiquement ouvertes, elles subissent des forces surfaciques : les composantes normales sont les forces de pression, les composantes tangentielles sont les forces de viscosité.
  • De façon plus précise, la force qui apparaît sur une surface élémentaire dS d'une particule de fluide est égale au débit de quantité de mouvement sortant à travers dS.(admis)
    • L'agitation moléculaire microscopique entraine un débit de quantité de mouvement normal : ceci se traduit par une force de pression.
    • Le glissement d'une particule de fluide sur une autre, les vitesses des particules étant différentes, se traduit par un transfert microscopique de quantité de mouvement de la particule la plus rapide vers la plus lente : ceci se traduit par une force dite de viscosité qui freine la particule la puis rapide et entraîne la puis lente.
  • Dans un fluide en mouvement, on observe donc
    • un phénomène de transport de quantité de mouvement par convection (associé au mouvement d'ensemble de la matière décrit par le champ des vitesses),
    • et un phénomène de transport de quantité de mouvement par diffusion (qui se fait de proche en proche à l'échelle microscopique et sans mouvement macroscopique de matière).
    • Phénomène de transport (ou transfert) : quand une grandeur physique est transportée par le biais des molécules.

Equivalent volumique des forces de viscosité.

  • On admet que, comme pour les forces de pression, les forces surfaciques de viscosité pour un fluide newtonien en écoulement incompressible sont équivalentes à des forces réparties en volume avec une densité volumique égale au produit de la viscosité par le laplacien-vecteur de la vitesse.
  • On vérifie cette équivalence dans le cas particulier d'un écoulement unidimensionnel de la forme v=vx(y) ux

Retour aux écoulements laminaires et turbulents : nombre de Reynolds

On étudie le particulier de l'écoulement engendré par le mouvement rectiligne d'une sphère dans un fluide au repos :

  • On étudie expérimentalement la force dite "de traînée" qui s'exerce sur la sphère (résultante des forces surfaciques de contact) pour différentes vitesses et différents rayons et on visualise simultanément les écoulements correspondants.
  • On se place dans le référentiel de la sphère pour visualiser facilement les écoulements.
  • Pour un déplacement de la sphère selon Ox, on définit le coefficient de traînée Cx par le rapport force subie/(pression cinétique x maître couple). Le coefficient C est sans dimension.
  • On définit le nombre de Reynolds par Re=L.V/ν avec v=η/ρ  viscosité cinématique; L dimension typique de l'objet (diamètre de la sphère ici, diamètre d'une canalisation éventuellement...). Le nombre de Reynolds est sans dimension.
  • Il est remarquable de constater que l'étude expérimentale permet de dégager une loi de comportement universelle (indépendante du fluide et du rayon de la sphère), à condition d'exprimer le coefficient de traînée Cx en fonction du nombre de Reynolds Re.
  • On constate que pour des nombres de Reynolds faibles ( Re<1 ), donc faible vitesse, petit obstacle, forte viscosité :
    • l'écoulement autour de la sphère est laminaire,
    • la traînée est proportionnelle au coefficient de viscosité, au rayon de la bille et à la vitesse (loi de Stokes).
  • Pour des nombres de Reynolds compris entre 1 et 1000, on constate la formation d'un sillage turbulent à l'arrière de la sphère.
  • On constate que pour des nombres de Reynolds élevés ( entre 2000 et 200 000), donc vitesse élevée, grand obstacle, faible viscosité :
    • le sillage turbulent est important,
    • le coefficient de traînée C (ou Cx) est constant (de l'ordre de l'unité), donc la traînée est proportionnelle à la pression cinétique et au Cx. La viscosité n' intervient plus.
    • Le Cx dépend de la forme de l'objet, il est proche de 0,5 pour la sphère, proche de 1 pour un disque.
  • Interprétation: le fluide doit réoccuper le volume laissé libre par la sphère au fur et à mesure qu'elle avance.
    • Pour une vitesse faible, un rayon faible, et une forte viscosité, le fluide "colle" à l'arrière de la sphère. Le fluide remplit l'espace laissé libre par la sphère par diffusion de matière.
    • Pour une vitesse élevée, un rayon grand, et une faible viscosité, le fluide "décolle" de la sphère. Le fluide remplit l'espace laissé libre par des mouvements de convection de matière rapides et aléatoires.
  • Ordre de grandeur : pour un objet de l'ordre du mètre, à une vitesse de l'ordre de 10 km.h-1 dans l'air, Re=105. L'écoulement est donc turbulent.

Ecoulement parfait

  • Définition :
Un écoulement est dit parfait si tous les phénomènes diffusifs sont négligeables : on peut donc négliger la viscosité et les phénomènes de diffusion thermique.
  • Dans la pratique, les écoulements pour un nombre de Reynolds élevé peuvent être considérés comme parfaits en dehors d'une couche limite de faible épaisseur située au voisinage des obstacles : en effet, les forces de viscosité deviennent non négligeables dans les zones de fort gradient de vitesse.
  • Ordre de grandeur de la couche limite : on admet qu'elle est de l'ordre de la taille de l'objet divisée par la racine carrée du nombre de Reynolds. Exemple : 1 mm pour une voiture à grande vitesse ! Justification avec des ordres de grandeur.
  • L'écoulement dans la couche limite peut être laminaire ou turbulent, indépendamment de l' écoulement extérieur.
  • Conditions aux limites :
    • pour un écoulement non parfait, donc dans la couche limite, la vitesse s'annule à la surface des obstacles.
    • si on néglige l'épaisseur de la couche limite, la vitesse en tout point de la surface d'un obstacle est tangentielle à l'obstacle.

Equations dynamiques locales

Ecoulement parfait : l'équation d'Euler

Démonstration

  • L'équation d'Euler n'est rien d'autre que la loi de la résultante cinétique appliquée à une particule de fluide (système fermé à l'échelle mésoscopique).

Retour au cas statique

  • Les surfaces isobares sont perpendiculaires aux lignes de champ de force.
  • La pression augmente dans le sens de la densité volumique de force.
  • Cas particulier où le fluide n'est soumis qu'à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen.
    • Cas des liquides : loi fondamentale de l' hydrostatique.
    • Cas des gaz : modèle de l'équilibre de l'atmosphère isotherme.
    • Conséquences :
      • la surface de séparation entre deux liquides non miscibles est horizontale.
      • Principe des vases communicants.
      • Principe du baromètre de Torricelli.
  • Théorème d'Archimède.

Bilans dynamiques et thermodynamiques

Qu'est-ce que la thermodynamique ?
La thermodynamique est une science de la physique dont l'étude porte sur les mouvements de chaleur entre les corps et leur comportement qui en découle.
  • Les théorèmes suivants ont été introduits en CPGE 1 pour des systèmes fermés :
    • théorème de la résultante cinétique
    • théorème du moment cinétique
    • théorème de l'énergie cinétique
    • premier principe de la thermodynamique
    • second principe de la thermodynamique
  • Il s'agit d'adapter ces théorèmes valables pour des systèmes fermés à des systèmes ouverts.
  • La technique générale est de se ramener à des systèmes fermés en effectuant des bilans à deux instants infiniment voisins t et t+dt. On effectuera donc des bilans de
    • quantité de mouvement
    • moment cinétique
    • énergle cinetique
    • énergie interne
    • entropie
  • On constate en particulier que le fait qu'un système soit ouvert se traduit par l'apparition d'une force supplémentaire dite force de poussée.

Les principes de la thermodynamique à revoir

Il est important de noter que le premier et le deuxième principe de la thermodynamique sont les plus importants, mais il peut tout de même intéressant de connaître les deux autres.

Le principe zéro de la thermodynamique

Ce principe concerne la notion d'équilibre thermique. Ainsi, il est à la base de la thermométrie et s'énonce ainsi : si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique.

Le premier principe de la thermodynamique

Egalement appelé principe de la conservation de l'énergie, ce principe affirme que l'énergie est toujours conservée. Formulé autrement, cela signifie que l'énergie totale d'un système isolé reste constante. Ainsi, les événements qui se produisent au sein du système isolé ne se traduisent donc que par des transformations de certaines formes d'énergie en d'autres formes d'énergie. Puisque l'énergie ne peut pas être produite en partant de rien, elle est présente en quantité invariable dans la nature. Elle ne peut donc que se transmettre d'un système à un autre : on ne crée par l'énergie, on la transforme.

Ce principe est également considéré comme étant une loi générale pour toutes les théories physiques, notamment en mécanique, électromagnétisme ou physique nucléaire puisqu'on ne lui a jamais trouvé la moindre exception même si des doutes peuvent subsister lorsque l'on étudie les désintégration radioactives.

De puis le théorème de Noether, on sait que la conservation de l'énergie est intimement reliée à une uniformité de structure de l'espace-temps.

Le premier principe de la thermodynamique rejoint alors le célèbre principe popularisé par Lavoisier : "Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme."

Le deuxième principe de la thermodynamique

Egalement appelé principe d'évolution des système, ce principe affirme la dégradation de l'énergie. En effet, l'énergie d'un système passe de façon nécessaire et spontanée de formes concentrées et potentielles à des formes diffuses et cinétiques telles que le frottement ou la chaleur.

Ce principe introduit donc également la notion d'irréversibilité d'une transformation et la notion d'entropie. En effet, d'après le deuxième principe de la thermodynamique, l'entropie d'un système isolé augmente ou reste constante. Souvent interprété comme une mesure du désordre et comme l'impossibilité du passage du désordre à l'ordre sans intervention extérieur.

L'interprétation de ce principe se base sur la théorie de l'information de Claude Shannon et la mesure de cette information, également appelée entropie de Shannon.

La principale différence de ce principe avec le premier principe de la thermodynamique est l'origine statique de ce deuxième principe. En effet, les lois microscopiques qui gouvernent la matière ne le contiennent qu'implicitement et de manière statique. Cependant, le deuxième principe de la thermodynamique reste relativement indépendant des caractéristique des lois précédemment citée puisqu'il apparaît même si l'on suppose des lois simplistes à petite échelle.

Le troisième principe de la thermodynamique

Ce principe, quant à lui, est associé à la descente vers un état quantique fondamental d'un système dont la température s'approche d'une limite qui définit la notion de zéro absolu. En effet, en thermodynamique classique, ce principe permet de calculer l'entropie molaire S d'un corps pur par intégration sur la température à partir de S=0 à 0 K dans le but d'établir des tables de données thermodynamiques.

La loi de Laplace en thermodynamique

En thermodynamique, cette loi correspond à une relation reliant la pression et le volume d'un gaz parfait qui subit une transformation dite isentropique ou une transformation dite adiabatique et réversible. Mais cette relation peut également être utilisée avec la température et le volume ainsi que la température et la pression.

La loi de Laplace suppose en effet des capacités thermiques constante alors que les capacités thermiques d'un gaz parfait dépend évidemment de la température, il suffit de regarder la loi des gaz parfait. En conséquence, cette loi ne peut être appliquée à des transformation où la variation de la température est peu important. On peut alors considérer que les capacités thermiques sont constantes.

Avec :

  • P est la pression d'un gaz (en pascals) ;
  • V le volume occupé par le gaz (en m3) ;
  • n la quantité de matière (en moles) ;
  • R la constante universelle des gaz parfaits (8,3144621 J/K/mol) ;
  • Et T est la température (en kelvins).

La poussée d'Archimède

La poussée d'Archimède est un phénomène physique qui décrit le comportement de tout corps plongé dans un fluide qu'il soit liquide ou gazeux soumis à un champ de gravité.

Elle est nommée ainsi en l'honneur d'Archimède de Syracuse, un très grand scientifique grec de 200 avant J.-C.

Elle est causée par l'augmentation de la pression du fluide avec la profondeur. Comme la pression exercée sur la partie basse du corps est supérieure à celle exercée sur la partie haute, le corps est poussé verticalement vers le haut.

Voici la formulation d'origine de cette loi physique :

Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède.

Pour que le théorème s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos. Il faut également qu'il soit possible de remplacer le corps immergé par du fluide immergeant sans rompre l'équilibre.

Voici l'équation qui en résulte :

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Avec :

  • Mf< la masse du fluide contenu dans un volume V et déplacé ;
  • g la valeur du champ de pesanteur, de 9,81 N/kg à la surface de la Terre.

Quelques exemples

La poussée d'Archimède intervient dans de nombreux cas de notre vie de tous les jours.

Par exemple, c'est la poussée d'Archimède qui fait qu'on ne coule pas lorsque l'on fait la planche sur l'eau. C'est aussi grâce à elle qu'un glaçon flotte à la surface d'un verre même lorsqu'il fond.

La poussée d'Archimède est aussi très utile à de nombreux appareils flottant ou volant. C'est grâce à elle que les bateaux ne coulent et que les sous-marins peuvent gérer leur profondeur. Les ballons dirigeables et les montgolfières peuvent aussi voler dans le ciel grâce à la poussée d'Archimède et au gaz moins dense que l'air qu'ils contiennent.

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !