Chapitres
- 01. Un peu d'histoire
- 02. Quelques rappels
- 03. Analyse
- 04. Réalisation
- 05. Validation
Un peu d'histoire
C'est en 1897 que Thomson découvre l'électron. Quelques années plus tard, il déposera son modèle de l'atome. Il décrit ainsi les électrons comme confinés au sein d'une boule uniformément chargée positivement. Il faudra néanmoins attendre 1911 pour que Rutherford découvre le noyau et que l'on puisse ainsi étudier les champs électriques et les potentiels créés par une boule chargée. 
Quelques rappels
Le modèle de l'atome
La découvert de l’atome est imputable à Ernest Rutherford. Durant le début des années 1910, il s’est attelé à comprendre la composition de l’atome. Il a alors déterminé que l’atome était constitué d’un noyau qui concentrait toute la charge positive et aussi presque toute la masse de l’atome. Ce noyau est entouré d’un nuage électronique composé d’électrons. L’un de ses collègues de laboratoire, Niels Bohr, a quant à lui démontré que les états de l’électrons dépendaient de l’énergie déterminée par le nombre n de l’atome. C’est à lui qu’on doit la compréhension de l’émission d’un photon lors d’un passage à un état inférieur.
L'électron
L’électron est donc l’un des composants de l’atome au même titre que les neutrons et protons. C’est une particule élémentaire que l’on note petit e et dont la charge élémentaire est de signe négatif. Ils s’organisent autour du noyau de l’atome dans ce que l’on appelle un nuage électronique. Les électrons et leurs propriétés ont aidé à la compréhension d’une multitude de phénomènes physiques, notamment en termes de conductivité. La conduction correspond au transfert de chaleur direct entre des matières en contact. La conduction thermique est un terme spécifique aux solides. C’est un transfert thermique direct au sein d’un milieu matériel (par propagation de proche en proche). Toute matière est composée d’atomes (qui font éventuellement partie de molécules) et ces atomes ne sont jamais totalement fixes : ils vibrent et ces vibrations peuvent se transmettre de proche en proche aux atomes voisins et c’est ce phénomène qui correspond à un transfert de chaleur par conduction.
La structure de l'atome
En chimie et en physique, on définit la structure électronique comme la distribution des électrons autour du noyau de l’atome. C’est cette dernière qui est garante de la stabilité de l’atome entre son noyau qui est chargé positivement et son nuage d’électrons autour, qui représente la charge négative de l’atome. Le noyau d’un atome se compose d’éléments que l’on appelle les nucléons. Ce sont eux qui définissent le nombre de masse d’un atome.
Le nombre de masse d’un atome est le nombre de nucléons qu’il contient. Il s’agit donc de la somme du nombre de protons et du nombre de protons qui constituent le noyau de l’atome
Dans ces nucléons se trouvent des protons dont la charge est positive et des neutrons à charge neutre. Ces deux composants sont très fortement liés entre eux. Le rayon d’un nucléon est d’environ 10-15 m alors que l’atome tout entier a un diamètre avoisinant les 10-10 m.
Analyse
Il existe plusieurs façons d'analyser les énergies créées par une boule. En voici quelques unes :
- Champ nul au centre par symétries ;
- A grande distance, champ radial décroissant en 1/r2 , car la boule apparaît comme ponctuelle ;
- Symétries et invariances suffisantes pour utiliser le théorème de Gauss pour le calcul du champ électrique en tout point ;
- Passage au potentiel :
- par le gradient en sphériques ;
- par la circulation du champ électrique.
Réalisation
Calcul du champ électrique
Dans le cas où l'on dispose d'une boule de rayon R et de centre O qui serait chargée uniformément en volume de densité volumique comportant une charge p, et dont la charge totale est : [ Q = \frac {4} {3} pi R ^ {3} rho ] Alors le champ engendré par la boule en question en un point M tel que OM = r vaut : [ begin {cases} overrightarrow {E} (r) & \frac {Q} {4 pi epsilon _ {0} r ^ {2} } overrightarrow {u} _ {r} = \frac { rho R ^ {3} }{ 3 epsilon _ {0} r ^ {2} } overrightarrow {u} _ {r} forall r geq R \ overrightarrow {E} (r) & \frac { rho r}{ 3 epsilon_{0} } overrightarrow {u} _ {r} forall rleq R end {cases} ] Il est important de noter que dans le cas où r est supérieur ou égal à R, le résultat est le même que si l'on disposait d'une charge ponctuelle Q placée en O.
Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d’un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme. Il s’énonce ainsi :
Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.
Le passage au potentiel
Le passage au potentiel est obtenu par l'équation de Poisson. L’équation de Poisson est une équation aux dérivées partielles de cette forme : [ Delta phi = f ] Appliqué à l’électrostatique, elle donne le potentiel électrique appelé V en présence d’une d’une distribution de charges p : [ Delta V = – \frac { rho } { epsilon _{0} } ] Cette équation est nommé ainsi en hommage au physicien et mathématicien Siméon Denis Poisson. D’origine française, il est célèbre pour ces nombreux travaux dans plusieurs matières scientifiques. Il a marqué l’histoire de la physique avec ses recherches sur l’électricité et les potentiels. Il a aussi participé aux travaux mathématiques concernant les intégrales et notamment les intégrales de Fourier.
Les superpositions
Il est possible d’appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :
- La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
- Un multiple d’une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.
Dans ce cas, c’est-à-dire celui d’un système physique, on peut appeler l’entrée excitation et la sortie réponse. On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :
- Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
- Lorsque l’on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .
Validation
On peut également utiliser plusieurs méthodes pour valider ses calculs, les voici :
- Champ au centre et à grande distance ;
- Continuités ;
- Expressions intrinsèques ;
- Modèle de l'électron élastiquement lié ;
- Calcul du champ à partir de l'équation de Maxwell-Gauss ;
- Calcul du potentiel à partir de l'équation de Poisson ;
- Retour sur les propriétés des opérateurs divergence et rotationnel pour un champ radial : calcul de div OM.
Une astuce pour retenir le résultat : tout se passe comme si toute la masse contenue dans le volume de Gauss était concentrée au centre.
Équation de Maxwell-Gauss
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