On entend généralement parler des fonctions polynômes du second degré pour la première fois en classe de seconde, en abordant la fonction carrée.

Cet article vous permettra de prendre un peu d'avance, de consolider vos acquis ou de repasser un concept fondamental des cours de maths.

➡️ Et voici d'ores et déjà un récapitulatif de tout ce qu'il faut comprendre sur les polynômes du second degré !

ConceptDéfinition
Fonction Polynôme du Second Degréf(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0. Équation quadratique résolue par la formule quadratique. Parabole.
PolynômeP(x) = a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0, a_n ≠ 0, coefficients a_i, degré n.
Vocabulaire- "Polynôme" pour "fonction polynôme"." - a_n ≠ 0 : degré n, sinon degré du premier terme non nul.
Représentation GraphiqueParabole avec sommet (-b/2a, -Δ/4a), Δ discriminant.
ÉcritureΔ > 0: a(x - x_1)(x - x_2) Δ = 0: a(x - x_1)^2 Δ < 0: P(x) de signe constant.
Forme Canoniquea(x - h)^2 + k, h et k sommet de la parabole.
PropriétésÉgalité si coefficients identiques. Somme/produit de polynômes donne un polynôme. Degré de P * Q est p + q.
Racine d'une Fonction PolynômeRacine (a) si P(a) = 0. P(x) = (x - a)Q(x) si a racine.
Calcul des RacinesFormule quadratique: [x_{1,2} = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)]. Cas (Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0).
FactorisationDécomposition en produits de polynômes. Méthodes incluent mise en évidence, factorisation quadratique, regroupement, substitution, et division synthétique.
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C'est parti

Fonction polynôme du second degré ✍️

Une courbe type parabole qui représente un polynôme.
Un polynôme est une expression mathématique composée de termes algébriques, formée par la somme de puissances variables multipliées par des coefficients constants.

Définition ?

? Une fonction polynôme du second degré est une fonction mathématique de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des coefficients constants, et a n'est pas égal à zéro.

? L'équation correspondante, appelée équation quadratique, peut être résolue à l'aide de la formule quadratique pour trouver les valeurs de x qui satisfont l'équation.

La représentation graphique de cette fonction est une parabole.

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Qu'est-ce qu'un polynôme ?

Un polynôme est une expression mathématique formée en additionnant ou en soustrayant des termes, chacun étant le produit d'une variable élevée à une puissance entière non négative, et multiplié par un coefficient. La forme générale d'un polynôme est P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0, où x est la variable, les a_i sont les coefficients constants, et n est un nombre entier non négatif appelé degré du polynôme. Les termes individuels a_nx^n, a_{n-1}x^{n-1}, ..., a_0 sont appelés monômes. Les polynômes sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques et de la science pour modéliser divers phénomènes.

➡️ Autrement dit, une fonction P, définie sur R, est une fonction polynôme s'il existe un entier naturel n et n+1 réels a0, a1, a2......an tels que pour tout réel x, on ait :

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

Vocabulaire ?

⚠️ Par abus de langage, on dit "polynôme" au lieu de "fonction polynôme".

Si an ≠ 0, le polynôme est de degré n.

Si an = 0, le degré du polynôme est l'indice i du premier terme ai non nul.

Les réels a0, a1, a2,... , sont les coefficients du polynôme.

Le terme "aixi" est le terme de degré i.

On appelle polynôme nul le polynôme dont tous les coefficents sont nuls.

Si un polynôme de degré n (n > 0), et x un réel, P(x) s'écrit de manière unique :

P(x) =anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

Représentation graphique ✏️

a représentation graphique d'un polynôme du second degré
P(x) = ax² + bx + c est une parabole de sommet S (-b/2a ; -Δ/4a).

Écriture Δ

Un boulier pour calculer en maths.
Les polynômes sont des expressions mathématiques essentielles qui servent à modéliser des relations algébriques, résoudre des équations et représenter graphiquement divers phénomènes dans des domaines tels que la physique, l'ingénierie et d'autres sciences appliquées.

1er cas  : Δ > 0

Le polynôme du second degré admet alors deux racines distinctes x1 et x2 données par les expressions :

x1 = -b - √Δ / 2a   et  x2 = -b + √Δ / 2a

Le polynôme peut alors s'écrire sous la forme factorisée :

P(x) = a(x -x1) (x - x2)

  • Pour tout x appartenant à ]-∞ ; x1[ ∪]x2 ; +∞[, P(x) est de même signe que le coefficient a.
  • Pour tout x appartenant à ]x1 ; x2[, P(x) est de signe opposé à celui de a.
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Rappel : qu'est-ce qu'une forme factorisée ?

La forme factorisée d'un polynôme est son expression sous la forme d'un produit de facteurs. Elle permet de représenter le polynôme de manière simplifiée en montrant comment il peut être décomposé en éléments plus simples.

2ème cas : Δ = 0

Le polynôme du second degré admet alors une unique racine ( on dit une racine double).

Cette racine est de la forme :

x1 = -b/2a

Le polynôme peut alors s'écrie sous la forme factorisée :

P(x) = a(x - x1)²

Pour tout x appartenant à R, le signe du polynôme est donc le même que celui de a.

Des tâches de couleurs dans l'eau
Le polynôme est un concept de première à maîtriser.

3ème cas : Δ < 0

Le polynôme du second degré n'admet alors aucune racine, il est de signe constant pour tout x de R.

Pour déterminer le signe de P, on peut calculer P(0) = c. Le polynôme est donc du signe de c.

Forme canonique ?

La forme canonique d'un polynôme est une manière spécifique de l'exprimer qui simplifie son écriture en mettant en évidence certaines propriétés.

➡️ Pour un polynôme du second degré (ax^2 + bx + c), sa forme canonique s'exprime sous la forme (a(x - h)^2 + k), où (h) et (k) sont les coordonnées du sommet de la parabole associée.

La conversion d'un polynôme en sa forme canonique peut être réalisée à l'aide de différentes méthodes, telles que la complétion du carré pour les polynômes du second degré.

@dphialpha A quoi correspondent alpha et bêta dans la forme canonique ? #mathematique #premiere #spémaths #secondsegres #formecanonique #polynomeduseconddegres #parabole #bac ♬ son original - dphialpha

➡️ Cette forme offre des avantages pour l'analyse graphique du polynôme, notamment en fournissant immédiatement les coordonnées du sommet de la parabole.

Propriétés ⚙️

Deux polynômes sont égaux s'ils ont le même degré et si les coefficeints des termes de même degré sont identiques.

La somme et le produit de deux polynômes P et Q sont des polynômes.

Soit p le degré de P et q le degré de Q.

Le degré de P*Q est  p + q

Racine d'une fonction polynôme ?

Définition ?

Les racines d'un polynôme sont les valeurs de la variable pour lesquelles le polynôme s'annule, c'est-à-dire lorsque l'expression polynomiale est égale à zéro.

➡️ Par exemple, pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c, les racines peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique.

Autrement dit, un réel a est un racine de P si P(a) = 0.

On dit aussi que a est solution de l'équation P(x) = 0.

Propriétés ⚙️

Si a est une racine d'un polynôme P de degré n, alors il existe un polynôme Q de degré n-1 tel que pour tout x ∈ R.

P(x) = (x-a) Q(x).

Calculer les racines d'un polynôme du second degré : équation quadratique ✏️

Les racines d'un polynôme du second degré, également appelé équation quadratique, peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique.

➡️ Pour un polynôme de la forme (ax^2 + bx + c), les racines (x_1) et (x_2) sont données par la formule :

[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

où (a), (b), et (c) sont les coefficients du polynôme. Il est important de noter que la racine quadrée ((\sqrt{})) peut être soit réelle (si le discriminant (b^2 - 4ac) est positif), soit complexe (si le discriminant est négatif).

Il existe trois cas possibles pour les racines en fonction du discriminant :

  1. Si (b^2 - 4ac > 0), le polynôme a deux racines réelles distinctes.
  2. Si (b^2 - 4ac = 0), le polynôme a une racine réelle double (racine double ou racine de multiplicité 2).
  3. Si (b^2 - 4ac < 0), le polynôme a deux racines complexes conjuguées.

Factoriser un polynôme ?

Une calculatrice grise.
Polynôme et calcul, combo gagnant !

La factorisation des polynômes consiste à exprimer un polynôme comme le produit de polynômes plus simples, appelés facteurs.

La factorisation peut être utile pour simplifier le polynôme, résoudre des équations, ou comprendre des propriétés du polynôme.

➡️ Voici quelques méthodes courantes de factorisation :

1️⃣ Factorisation par mise en évidence

Si certains termes communs peuvent être extraits de chaque terme du polynôme, on peut les mettre en évidence.

Par exemple, dans (2x^2 + 4x), on peut factoriser (2x) pour obtenir (2x(x + 2)).

2️⃣ Factorisation quadratique

Pour un polynôme du second degré (ax^2 + bx + c), si le polynôme peut être factorisé, on peut utiliser la formule quadratique pour trouver les racines, puis exprimer le polynôme comme le produit de facteurs linéaires.

3️⃣ Factorisation par regroupement

Si un polynôme a un nombre pair de termes et peut être divisé en deux groupes, on peut souvent factoriser en regroupant les termes communs dans chaque groupe.

4️⃣ Factorisation par substitution

Parfois, en effectuant une substitution appropriée, on peut simplifier un polynôme et le factoriser plus facilement.

5️⃣ Factorisation par division synthétique ou division polynomiale

Si on connaît une racine du polynôme, on peut utiliser la division synthétique pour diviser le polynôme par la racine, obtenant ainsi un quotient qui peut être factorisé.

À noter que la méthode de factorisation dépend du type de polynôme et de ses propriétés spécifiques.

Polynôme de second degré : exercice ?

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !