1 - Résultat préliminaire : ’’ le théorème des gendarmes ’’ Dans un repère orthogonal, construire la courbe représentative d’une fonction f définie sur [0 ; + l’infini [ telle que pour tout réel x positif, f (x) est inférieur ou égal à 1 et \lim de f (x) quand x tend vers + l’infini est égale à 1. Sur le même graphique, construire la courbe représentative d’une fonction g définie sur [0 + l’infini [ telle que pour tout réel x positif, f (x) est inférieur ou égal à g (x) qui est inférieur ou égal à 1. Peut-on en déduire la limite de g en + l’infini ?(justifier graphiquement). Je vous laisse faire le dessin. On a, pour tout x de IR+, f(x)<= g(x) <= 1 Comme \lim en +oo f(x)=1, on a, d’après le théorème des gendarmes : lim(+oo) g(x)=1 En cours de maths en ligne, sur le cercle trigonométrique plaçons le point M tel que (vecteur OI, vecteur OM) = h. Appelons m l’abscisse de M. Soit I le point de coordonnées I(1 ; 0). Soit le point T de la droite (OM) tel que OIT est un triangle rectangle. 2 – Si h appartient à J = ]0 ; pi/2)[ . En considérant les aires des triangles OIM et OIT ci-dessous et l’aire du secteur circulaire OIM, démontrer que : sin h est inférieur ou égal à h qui est inférieur ou égal à sin h/cos h et en déduire que pour tout h de J on a : cos h inférieur ou égal à sin h / h qui est inférieur ou égal à 1. Graphiquement, on a : Aire(OIM)<= Aire(secteur circulaire OIM) <= Aire (OIT) On appele M’ le projeté orthogonal de M sur (Ox). Aire(OIM)=OI.MM’/2=1.sinh/2 En cours de math, l’aire du cercle trigonométrique est pi.r² avec r=1, soit pi. L’aire du secteur circulaire est donc h/(2pi) x pi = h/2 (h/2pi est la proportion du cercle représentée par l’angle h). Enfin, calculons Aire(OIT). Aire(OIT)=OI.IT/2 Or OI=1 et, d’après le théorème de Thalès, on a IT/MM’=IO/M’O Soit IT=1/cosh x sinh=sinh/cosh Au total, on a Aire(OIT)=sinh/2cosh. Les raisonnements utilisés étant valables pour tout h. Pour tout h, sinh/2 <= h/2 <= sinh/2cosh Soit sinh <= h <= sinh/cosh, pour tout h. Le premier membre de l’inégalité nous donne sinh/h <= 1 (car h est positif) Le second membre nous donne cosh. h <= sinh (car cosh est positif si h est dans J, donc on ne change pas le signe de l’inégalité). Et donc cosh <= sinh/h (car h est positif). On a finalement, pour tout h de J, cosh <= sinh/h <= 1 3 – Si h appartient à J’ = ]-pi/2 ; 0[ posons h’ = - h . Démontrer alors avec le résultat de la question 2 que : cos h’ est inférieur ou égal à sin h’ / h’ qui est inférieur ou égal à 1 et en déduire que pour tout h de J’ on a : cos h est inférieur ou égal à sin h / h qui est inférieur ou égal à 1. Conclusion : il résulte des questions 2 et 3 que pour tout h appartient à J réunion J’ on a : cos h inférieur ou égal sin h / h inférieur ou égal à 1. Si h est dans J’, h’ est dans J, donc cosh’ <= sinh’/h’ <= 1 Soit cos(-h)<=sin(-h)/(-h)<=1 En utilisant la parité/imparité de sinus et cosinus, on obtient : Pour tout h de J’, cosh<= -sinh/(-h) <= 1 Soit cosh<=sinh/h<=1 Donc, pour tout h de JUJ’, cosh<=sinh/h<=1 4 – En utilisant le résultat des questions précédentes, démontrer que \lim de sin h / h quand h tend vers 0 est égale à 1. cos h tend vers 1 quand h tend vers 0. D’après le théorème des gendarmes, comme, pour h dans ]-pi/2,pi/2[ on a cosh<=sinh/h<=1, alors Lim(0) sinh/h=1 5 – Démontrer que pour tout h de J réunion J’ on a : [ 1/(1 + cos h) ] multiplié par (sin h / h)2 = (1 – cos h) / h2 et en déduire que \lim de (1 – cos h) / h quand h tend vers 0 est égale à 0. Merci beaucoup ! Pour tout h de JUJ’, on a 1/(1+cosh) x (sinh/h)²=(1-cosh)/(1+cosh)(1-cosh) x (sinh/h)² = (1-cosh)/(1-cos²h) x (sinh/h)² = (1-cosh)/sin²h x (sinh/h)² = (1-cosh)/h² On a alors (1-cosh)/h=h. 1/(1+cosh) x (sinh/h)² Or lim(0) (sinh/h)²=1 Et lim(0) 1/(1+cosh)=1/2 Enfin lim(0) h = 0 Donc on a bien lim(0) (1-cosh)/h = 0.1/2.1=0 |
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