Exercice n°1 : Dans un jeu de 32 cartes, on tire au hasard une carte, on la remet dans le jeu, puis on en tire une seconde. Un « résultat » est un couple de cartes (ex : as de cœur, roi de pique). 1) Déterminer le nombre d’éléments de l’univers de cette expérience ; justifier. En cours de maths en ligne, l’univers U de cette expérience est l’ensemble des couples de cartes, sachant que la première carte est remise dans le jeu Il y a donc card(U)=32²/=1024 éléments dans cet univers, car la première carte tirée est remis dans le jeu. 2) Déterminer les probabilités des evennements suivants : A : « les deux cartes sont des cœurs » P(A)=card(A)/card(U) Dénombrons les couples correspondant à A : il y a 8 cartes "coeur" dans le jeu. Donc card(A)=8x8=64 Ainsi, P(A)=64/1024=0,0625 B : « les deux cartes sont identiques » P(B)=card(B)/card(U) Dénombrons les couples correspondant à B : - choix de la carte qui sera tirée en double : 32 possibilités
- choix de la seconde carte : 1 possibilité (le choix est imposé par la première)
Ainsi, card(B)=32 Ainsi, P(B)=32/1024=1/32=0,03125 C : « les deux cartes sont rouges » P(C)=card(C)/card(U) Dénombrons les couples correspondant à C: - choix de la première carte : 16 possibilités
- choix de la seconde carte : 16 possibilités
Ainsi, card(C)=16x16=256 Ainsi, P(C)=256/1024=1/4=0,25 D : « la première est un pique, la seconde est un dix ». P(D)=card(D)/card(U) Dénombrons les couples correspondant à D: - choix de la première carte : 8 possibilités (8 piques)
- choix de la seconde carte : 4 possibilités (1 "10" par couleur)
Ainsi, card(D)=8x4=32 Ainsi, P(D)=32/1024=1/32=0,03125 Exercice n°2 : Définition : on appelle « mot » toute suite ordonnée de lettres (ex : ghy). 1) Combien de « mots » de trois lettres distinctes peut on écrire avec les lettres du mot « MARE » ? Justifier. - Il y a C(4,3)=4 façons de choisir les trois lettres distinctes du mot, choisies parmi les 4 lettres de "MARE".
- Il y a 3!=6 façons de créer un mot à partir de ces 3 lettres (ex : mar, ram, mra, rma, amr, arm)
Au total, il y a 4x6=24 façons de créer un mot de 3 lettres distinctes à partir de "MARE". 2) Déterminer les probabilités des evennements suivants : L’univers U est ici l’ensemble des mots de trois lettres distinctes. On a donc card(U)=34 a) le mot est « ARE » Soit A l’événement " le mot est « ARE » ". P(A)=card(A)/card(U) Il n’y a qu’une façon de créer "ARE", donc P(A)=1/24=0,041666 b) le mot contient la lettre « A » Soit B l’événement " le mot contient la lettre « A » ". - Il y a C(3,2)=3 façons de choisir les deux autres lettres du mot à partir des lettres M,R,E.
- Il y a 6 façons d’ordonner les trois lettres.
On a donc card(B)=18. Soit P(B)=18/24=0,75 c) Le mot ne contient pas la lettre « A ». Soit C l’événement "Le mot ne contient pas la lettre « A ». ". On a C=B_ (B "barre") Donc P(C)=1-P(B)=1-0,75=0,25 Exercice n°3 : De combien de manières peut on ranger cinq pulls dans deux tiroirs ? (on cherchera une représentation claire de l’univers de cette expérience.) Soient A et B les deux tiroirs, P1, P2, ..P5 les cinq pulls. L’univers U de cette expérience est l’ensemble des façons de placer les pulls dans les tiroirs, sachant que : - le nombre de pulls dans chaque tiroir peut varier de 0 à 5
- l’ordre des pulls dans chaque tiroir compte.
On peut ainsi représenter U comme l’ensemble des 6-uplets, chaque élément étant composé de P1,P2,P3,P4,P5 et "|", symbolisant le passage d’un tiroir à l’autre. Quelques exemples : - (|,P3,P5,P1,P4,P2) (ici, A est vide)
- (P2,P3,P5,|, P1,P4) (P2, P3 et P5 sont dans A, dans cet ordre; P1 et P4 sont dans B, dans cet ordre).
Il y a 6!=720 6-uplets possibles. Donc il y a 720 manières de ranger les pulls. Exercice n°4 : Dans une classe de 48 élèves, il y a 25 filles ; 18 pensionnaires dont 8 garçons ; il n’y a pas de demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Déterminer les probabilités pour que : a) cet élève soit un garçon Soit U l’univers de l’expérience, c’est à dire l’ensemble des tirages de un élève. card(U)=48 Il y a 25 filles, donc 48-25=23 garçons. P(G)=card(G)/card(U)=23/48=0,4791666 b) cet élève soit une fille pensionnaire Soit B cet événement. Il y a 18 pensionnaires, dont 8 garçons. Les autres sont donc des filles : il y a donc 10 filles pensionnaires. Donc P(B)=10/48=0,20833 c) cet élève soit externe. Soit C cet événement. Il y a 18 pensionnaires et 0 pensionnaires. Il y a donc 48-18=30 externes. Donc P(C)=30/48=0,625 |
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