Chapitres
- 01. 1) Rappel
- 02. 2) Propriétés
- 03. 3) Comparaison de a, a2 et a3
1) Rappel
Définition :
Comparer deux réels, c'est dire s'ils sont égaux ou sinon dire lequel est le plus grand ou le plus petit.
Soit a ∈ et b ∈ :
a ≤ b signifie que b – a ∈ +
c'est-à-dire b – a ≥ 0.
Pour comparer deux réels, on étudie le signe de leur différence.
2) Propriétés
a) Ordre et addition
Quels que soient les réels a, b, c :
si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c.
Additionner (ou soustraire) un même nombre à chaque membre d'une inégalité ne change pas le sens de l'inégalité.
Exemples :
- π > 3 donc π – 1 > 2
- si x + 3 > –1 alors x > –4
b) Ordre et multiplication
Quels que soient les réels a, b, c :
- si a ≤ b et c > 0, alors ac
≤ bc ;
- si a
≤ b et c > 0, alors ac ≥ bc.
Multiplier ou diviser chaque membre d'une inégalité par :
- un même nombre strictement positif ne change pas le sens de l'inégalité ;
- un même nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.
Exemples :
- π > 3 donc –2π < –6
- donc
c) Ordre et inverse
Soient a et b deux réels
Si 0 < a ≤ b, alors
Démonstration :
On veut montrer que
On sait que 0 < a ≤ b
On cherche le signe de
On sait que :
- a ≤ b donc b – a ≥ 0
- a > 0
b > 0 donc ab > 0
Donc , dont le numérateur et le dénominateur sont positifs, est positif.
d) Ordre et racine carrée
Soient a et b deux réels
Si 0 < a ≤ b, alors
Démonstration :
On sait que :
- a ≤ b donc a – b ≤ 0
On en déduit que
Donc
Exemples :
e) Ordre et carré
Soient a et b deux réels.
Si 0 ≤ a ≤ b alors a2 ≤ b2
Démonstration :
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
a + b ≥ 0
a – b ≤ 0 donc a2 – b2 ≤ 0
a2 ≤ b2
3) Comparaison de a, a2 et a3
Si a est positif :
Théorème :
- Si a ≥ 1, alors a ≤ a2 ≤ a3
- Si 0 < a ≤ 1, alors a3 ≤ a2 ≤ a
Démonstration :
- On suppose que a ≥ 1
On multiplie a (qui est positif) chaque membre de l'inégalité
a × a ≥ 1 × a
Donc a2 ≥ a
On multiplie à nouveau par a
a2 × a ≥ a × a
Donc a3 ≥ a2
On a donc a3 ≥ a2 ≥ a
- On suppose que 0 < a ≤ 1
a ≤ 1
On multiplie par a (qui est positif)
a × a ≤ 1 × a
Donc a2 ≤ a
On multiplie à nouveau par a
a2 × a ≤ a × a
Donc a3 ≤ a2
On a donc a3 ≤ a2 ≤ a
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J aimerais bien savoir comment sin cos et tan
Je veut comparer-117/50 et_58/25 en utilisant la signe de la différence
il faut réduire au même dénominateur donc 58/25=116/50 puis tu fais (-117-116)/50
C’est top beau mais j’ai pas totalement eu la réponse dont je suité avoir merci.
salut j aimerai que vous me aidez de montrer que :
soient a,b appartenant a l’ensemble R +²
a-b=o éqivalent à a²=b² et ab supérieure strictement à 0
Bonjour, nous ne faisons pas les exercices à la place des élèves cependant nos professeurs se feront un plaisir de vous aider 🙂
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