Chapitres
- 01. Définition
- 02. Règles de calcul
- 03. Milieu d'un segment
Définition
Soit un vecteur et k un réel.
On appelle produit du vecteur par le réel k le vecteur k définie par :
- Si ou si k = 0, k.
- Si et si k ≠ 0, alors :
- k et ont la même direction.
- Si k > 0
k et ont le même sens.Si k < 0
k et sont de sens contraires.
càd
Règles de calcul
Pour tous les vecteurs et ,
pour tous les réels a et b, on a :
(α) (a + b) = a + b
(β) a ( + ) = a + b
(γ) a (b) = (ab)
(δ) a = , si et seulement si a = 0 ou
Exemples :
- 2 + 9 = (2 + 9) = 11
- 7 + 7 = 7 ( + )
= 7
= –3 - –7 = équivaut à : =
càd A et M sont confondus
Remarques :
- On peut écrire mais on n'écrit pas .
- La division de vecteurs n'est pas possible. On écrit : .
Mais on n'écrit pas : .
Milieu d'un segment
Définition :
I est le milieu du segment [ AB ] si
Théorème 1 :
Les propositions suivantes sont équivalentes.
(P1) I est le milieu de [ AB ]
(P2) ou encore
(P3)
(P4) pour tout point M du plan,
Théorème 2 :
Soit ABC un triangle
M milieu de [ AB ]
N milieu de [ AC ]
Remarque :
Cette expression vectoriel résume à la fois le parallélisme des droites ( MN ) et ( BC ) et le fait que (cf. théorème de la droite des milieux vu en classe de 4e).
Démonstration :
(d'après la relation de Chasles)
Or : (car M milieu de [ BA ])
CQFD
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Bravo pour ce document qui est très bien fait !