🤓 Les nombres en mathématiques se divisent en catégories et forment la base des opérations mathématiques et sont regroupés dans des ensembles notés ℕ, ℤ, ℚ, ℂ. Les irrationnels ne peuvent être exprimés comme fractions, tandis que les complexes incluent des parties imaginaires.

🔢 Voici un récapitulatif ainsi que toutes les choses à connaître sur cette thématique :

Type de NombreExemplesDésignation
Entiers Naturels0, 1, 2ℕ (ensemble des naturels)
Entiers Relatifs-3, -2, 6ℤ (ensemble des entiers)
Nombres Rationnels1/3, 1/2, -1, 2ℚ (ensemble des rationnels)
Nombres Irrationnelsπ, √2, eIrrationnels
Nombres Complexes1 + i, j = (1 + i√3) / 2ℂ (ensemble des complexes)
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C'est parti

Tout savoir sur l'ensemble des entiers naturels 👨‍🏫

fiche de maths avec des opérations
Comment résoudre des opérations basiques en maths ?

En mathématiques, on suppose connu l’ensemble des entiers naturels ainsi que les opérations de base sur les nombres entiers naturels.

Un principe très important portant sur l’ensemble des entiers naturels est le principe de récurrence, nous allons dans la suite du cours décrire les principaux raisonnements permis par la
récurrence.

Le principe de récurrence est ici considéré comme un axiome, il équivaut à une propriété caractéristique de l’ensemble N des entiers naturels que nous n’exposerons pas ici.

Récurrence faible

📚 Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si pour tout entier naturel n > n0, la véracité de P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.

Remarque

🔍 On s’efforcera de rédiger une démonstration par récurrence en distinguant bien les trois étapes nécessaires à la preuve de la propriété, ces étapes sont l’initialisation, l’hérédité et la conclusion, cette dernière étant souvent "oubliée" mais pourtant incontournable, vous voilà prévenus !

Exemple

Démontrons par récurrence que pour tout entier n > n0, P(n) vraie.

  • Initialisation : P(n0) vraie, en effet : . . .
  • Hérédité : soit n > n0, supposons P(n) vraie, . . ., donc P(n + 1) vraie.
  • Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, on conclut par récurrence que : ∀n > n0, P(n).

Récurrence forte

🙌 Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1), . . . , P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.

Récurrence à deux pas

✌️ Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.

Remarque

  • On utilise la récurrence uniquement quand la propriété à démontrer dépend d’un entier naturel.
  • Les principes de récurrence forte ou à deux pas sont des conséquences immédiates du principe
    de récurrence faible.
  • Avant d’essayer une récurrence il est bon de voir s’il n’existe pas une preuve directe souvent
    plus rapide.

Notation

✍️ Étant données deux entiers naturels n et p avec n ≤ p, on notera [n, p] l’ensemble des entiers naturels compris entre n et p.

On adoptera la dénomination : « l’intervalle d’entiers compris entre n et p » pour le décrire

Tout savoir de l'ensemble des nombres réels 👨‍💻

Les nombres réels incluent les entiers, les décimaux, et les fractions, ainsi que les irrationnels tels que π et √2. Ils forment une ligne continue infinie et peuvent être représentés sur un axe numérique. Les opérations arithmétiques, comme l'addition et la multiplication, s'appliquent aux nombres réels.

Les réels sont essentiels pour modéliser des quantités continues et variées dans divers domaines des mathématiques et de la physique.

marches d'escalier avec des opérations de nombres
Quelles sont les formules de base à connaître en maths ?

Addition

Soient a, b et c trois réels, on a :

  • a + b = b + a (commutativité)
  • (a + b) + c = a + (b + c) (associativité)

On dit que l’addition des nombres réels est commutative et associative.

Multiplication

Soient a, b et c trois réels, on a :

  • a × b = b × a (commutativité)
  • (a × b) × c = a × (b × c) (associativité)

La multiplication des réels est aussi commutative et associative.

Soient a et b deux réels, on a : a × b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0

Soient a, b et c trois réels, on a :

  • a × (b + c) = a × b + a × c (distributivité à gauche)
  • (a + b) × c = a × c + b × c) (distributivité à droite)

C’est la distributivité de la multiplication sur l’addition des nombres réels.

Règle de calculs sur les quotients

Soient a, b, c et d quatre nombres réels avec b et d non nuls, on a :

  • a/b + c/d = (ad + bc)/bd
  • a/b × c/d = ac/bd
  • a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc si c ≠ 0

Valeur absolue

Soit x un réel, on notera |x| =

  • x si x > 0
  • −x si x < 0

Remarque

  • Sur un axe gradué, |x| est la distance du point d’abscisse x à l’origine de l’axe.
  • De la même façon |a − b| est la distance séparant les points d’abscisses respectives a et b sur un
    axe gradué.

Théorème : Inégalité triangulaire

Soient x et y deux nombres réels, on a :

||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| avec égalité en (1) ssi xy ≤ 0 et égalité en (2) ssi xy ≥ 0

Calcul avec radicaux

  1. Soient x et y deux réels positifs, on a : √xy = √x √y.
  2. Soit x un réel positif, √x² = x.
  3. Soit x un réel quelconque, √x²0 = |x|.

Attention, ce dernier point est un écueil sur lequel s’échoue bien des étudiants débutants... vous voilà prévenus.

Identités remarquables

Pour tous réels a et b on a :

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a − b)² = a² − 2ab + b²
  • (a + b)(a − b) = a² − b²

Définitions : Règles de calcul

  • Développer c'est transformer un produit en somme.
  • Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun.
  • Réduire c'est effectuer dans une expression littérales des calculs possibles.

On peut utiliser la distributivé de la multiplication.

[ k times left( a + b right) = k times a + k times b ]

[ k times left( a - b right) = k times a - k times b ]

[  left( a + b right) times left( c + d right) = a times c + a times d + b times c + b times d ]

[ left(a - b right) times left(c + d right) = a times c + a times d - b times c - b times d ]

[ left(a + b right) times left(c - d right) = a times c - a times d + b times c - b times d ]

[ left(a - b right) times left(c - d right) = a times c - a times d - b times c + b times d ]

Partie entière

Soit x un réel, il existe un unique nombre entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1

Ce nombre n est appelé partie entière de x et sera noté ⌊x⌋

Étudier, comprendre et résoudre des équations et des inéquations 🤔

vitre avec des opérations mathématiques
Les équations sont plus complexes à appréhender !

📝 Les différents types d’intervalles de nombres réels :

  • [a, b] (fermé borné), contient tous les réels compris entre a et b inclus.
  • ]a, b[ (ouvert borné), idem mais a et b exclus.
  • ]a, b] (resp. [a, b[) (semi-ouvert borné), contient tous les réels strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b (resp. réels supérieurs ou égaux à a et strictement inférieurs à b).
  • [a, +∞[ (resp. ] − ∞, b]) (semi-ouvert non borné), contient tous les réels supérieurs ou égaux à a (resp. réels inférieurs ou égaux à b).
  • ]a, +∞[, ]−∞, b[ ou ]−∞, +∞[ (ouvert non borné) idem que précédemment avec des inégalités strictes.

Équation du premier et second degré

  • Une égalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’égalité.
  • Une égalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l’égalité.

👉 Soient a et b deux réels avec a non nul, l’équation ax + b = 0 possède une unique solution : x = −b/a.

On considère l’équation ax2 + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul. Le nombre b² − 4ac est appelé discriminant de l’équation, il est noté ∆. On rappelle alors le résultat suivant :

  • Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (− b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
  • Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a

Remarque

Dans le cas où ∆ > 0 on a le résultat suivant :

  • x1 + x2 = −b/a
  • x1 × x2 = c/a

Ceci permet, une solution étant connue, de déterminer l’autre très rapidement.

Inéquations

  • Une inégalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’inégalité
  • Une inégalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement positif les deux membres de l’inégalité
  • Une inégalité change de sens lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres de l’inégalité

Comprendre le concept de majorants et minorants 🙌

🧮 On considère une partie A de R.

  • S’il existe M ∈ R tel que ∀x ∈ A, x 6 M alors on dit que A est majorée par M et M est un majorant de A.
  • S’il existe m ∈ R tel que ∀x ∈ A, x > m alors on dit que A est minorée par m et m est un minorant de A.
  • Si A est majorée et minorée alors on dit que A est bornée.

Remarque

Les réels m et M ci-dessus n’appartiennent pas nécessairement à la partie A.

Exemple

La partie A = { 1/n ; n ∈ N∗} est bornée par 0 et 1.

Définitions

  • S’il existe α ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≤ α alors on dit que α est le plus grand élément de A. On note α = max(A).
  • S’il existe β ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≥ β alors on dit que β est le plus petit élément de A. On note β = min(A).

Une partie de R n’admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément

Borne supérieure et borne inférieure

Soit A une partie de R, notons M+ (resp. M−) l’ensemble des majorants (resp. minorants) de A.

  • Si M+ possède un plus petit élément alors c’est le plus petit des majorants de A, on l’appelle la borne supérieure de A, notée sup(A).
  • Si M− possède un plus grand élément alors c’est le plus grand des minorants de A, on l’appelle la borne inférieure de A, notée inf(A).

Théorème

  • Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure
  • Toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure

Caractérisation des bornes sup et inf

Soit A une partie non vide et majorée de R et α ∈ R.

α = sup(A) ⇐⇒

  • ∀x ∈ A, x ≤ α
  • ∀ε > 0, ∃x ∈ A, α − ε < x ≤ α

Soit A une partie non vide et minorée de R et β ∈ R.

β = inf(A) ⇐⇒

  • ∀x ∈ A, x ≥ β
  • ∀ε > 0, ∃x ∈ A, β ≤ x < β + ε

Définitions et règles des nombres complexes 🙇

On admet l’existence d’un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, contenant R et un nombre non réel noté i vérifiant i² = −1.

C est l’ensemble des nombres s’écrivant sous la forme z = a + ib où a et b sont des nombres réels.

Cet ensemble est structuré par une addition et une multiplication induites par l’addition et la multiplication dans R.

Soit : C = {a + ib ; (a, b) ∈ R²}

nombres à la Bourse
Les nombres complexes nécessitent quelques bases en mathématiques pour être appréhendés

👨‍💻 L’écriture z = a + ib d’un nombre complexe (où a et b sont des réels) est appelée forme algébrique de z :

  • a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z
  • Notations : a = Re(z) et b = Im(z).

Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire, à savoir :

a + ib = a' + ib' ⇐⇒ a = a' et b = b'

Conséquences :

  • Un complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles ;
  • La forme algébrique d’un nombre complexe est unique.

∀(z, z') ∈ C² , zz' = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z' = 0

Reconnaître le conjugué d’un nombre complexe

Un nombre complexe qui s’écrit iy avec y ∈ R est appelé imaginaire pur.
Conséquences :

  • un complexe est réel ssi sa partie imaginaire est nulle ;
  • un complexe est imaginaire pur ssi sa partie réelle est nulle.

On note iR l’ensemble des imaginaires purs.

Soit z = x+iy un complexe sous forme algébrique. Le nombre x−iy noté z¯ est appelé conjugué de z. z¯ = x − iy

Caractérisation des réels et des imaginaires purs

  • Soit z ∈ C
  • z ∈ R ⇐⇒ z = ¯z
  • z ∈ iR ⇐⇒ z = −z¯

Attention, Soient a et b deux complexes, a − ib n’est pas le conjugué de a + ib.

Interprétation géométrique de la conjugaison

  • Soit M un point d’affixe z dans le plan complexe.
  • Le point M' d’affixe z' est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses du repère

Remarque

La conjugaison est donc interprétée en terme de symétrie axiale dans le plan complexe. Par suite il est facile de voir que le conjugué du conjugué d’un complexe z est égal à z. On dit que la conjugaison est une involution.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !