I. Etude de la fonction élévation au carré.
Légende : (- = appartient ; R = Ensemble des réels oo = infini
. F est définie par f(x) = x²
Df = R (Df est l'ensemble de définition de F)
Remarque : Toutes les images seront dans R+
. Deux nombres opposés ont la même image (opposés = -2 et 2, a ne pas confondre avec inverse !)
Pout tout x (- R f(x) = f(-x)
. Sens de variation :
# F est strictement croissante sur R+
a (- R+ b (- R+
Avec a<b
f(a) - f(b) = a² - b² = (a+b) (a-b)
si a<b alors f(a) - f(b) < 0
si a<b alors f(a) < f(b)
# étude sur R
a (- R- b (- R-
a<b
F est strictement décroissante sur R-
II- Etude de la fonction inverse :
Définition :
- Il s'agit de la fonction f : x ==> 1/x
- 0 n'a pas d'inverse : Df = R* ( ou Df = R\ {0} )
- S x (- Df f(x) = 1/x
= 1/-x = -1/x = - f(x)
Deux x opposés ont des images opposés
-Sens de variation
a) x ==> 1/x est décroissante sur R*+ = ] 0 ; + oo [
En effet :
Soit a (- R*+ et b (- R*+ aux a< b
f(a) - f(b) = 1/a - 1/b = b/ab - a/ab
= b-a/ab f(a)-f(b) > 0
si a<b alors f(a) > f(b)
F est strictement décroissante sur R*+
De même sur R*-
a (- R*- b (- R*- a<b
f(a) - f(b) = b-a/ab
Le graphique de la fonction est appellé Hyperbole.
Exemple d'application :
Résoudre chaque inéquation en s'aidant de la courbe de la fonction inverse.
1/x ≤ 3/4
x ≥ 4/3 car x --> 1/x est strictement décroissant sur R*-
alors S = ] - oo ; 0[ U [ 4/3 ; +oo [
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