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C'est parti

Les parallélogrammes

Comment représenter un parallélogramme ?
En cours de géométrie, veillez à toujours avoir votre matériel avec vous. Il peut être indispensable à la résolution des exercices ou à la compréhension du cours.

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses cotés opposés parallèles.

Propriétés

Soit A,B,C,D quatre points du plan. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si et seulement si :

  • Les segments [AC] et [BD]  se coupent en leur milieu
  • Il s'agit d'un trapèze dont les deux cotés parallèles sont de longueur égales
  • Les angles opposés deux à deux sont égaux
  • La somme des deux angles consécutifs  est égal à 180 degrés

A noter qu'il suffit qu'une seule de ces conditions soient respectées pour que le quadrilatère ABCD soit considéré comme un parallélogramme.

Qu'est-ce qu'un parallélogramme ?
Schéma d'un parallélogramme
Comme affiché sur le schéma du parallélogramme :
  • Les cotés [AB] [CD] et [AC][BD] ont respectivement des côtés égaux deux à deux
  • Les angles CAB, CDB et ACD, DBA sont égaux
  • Les segments [AD] et [CB] se coupent en leur milieu
  • La somme des angles BAC, ACD tout comme la somme des angles ACD, CDB et ainsi de suite est égale à 180 degrés.

Propriétés

Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si les cotés opposés d'un quadrilatère non croisé sont de même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a deux cotés opposés parallèles de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a un centre de symétrie, alors c'est un parallélogramme. Le parallélogramme est un type de quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. Ce milieu est également son centre de symétrie.

Calculs

Comment calculer le périmètre de son terrain ?
Sans que vous le sachiez, il se peut que vous appreniez des formules et des calculs qui pourront vous être utiles plus tard. Par exemple pour clôturer votre jardin !

L'aire d'un parallélogramme de base b et de hauteur h se calcule grâce à la formule suivante : Le périmètre du parallélogramme est égal à la somme de la longueur et de la largeur multipliée par deux. Voici la formule avec un parallélogramme dont la largeur est l et la longueur L :

Mesures caractéristiques

Le périmètre d'un parallélogramme représente la valeur de la longueur du contour du parallélogramme. Pour le calculer, il suffit d'effectuer la somme de l'ensemble des côtés, à savoir [AC] + [CD] + [DB] + [BA]. Or les propriétés d'un parallélogramme font que les côtés [AB][CD] et [AC][BD] sont égaux. On peut donc calculer le périmètre du parallélogramme comme étant ([AC] + [AB])*2 (dans l'image du parallélogramme ci-dessus). L'aire d'un parallélogramme représente l'ensemble du contenu situé à l'intérieur. Il est calculé en prenant en compte deux longueurs caractéristiques :

  • La base B du parallélogramme qui représente une longueur
  • La hauteur H du parallélogramme représenté dans le graphique ci-dessous (de valeur 4 dans notre exemple).

L'aire est ainsi égale à Aire(ABCD) = H*B

A quoi ressemble un parallélogramme ?
Exemple de longueurs d'un parallélogramme

Exemple

On souhaite calculer l'aire et le périmètre du parallélogramme ci-dessus. Le périmètre est égal à ([AB] + [CB])*2 = (6 + 5) * 2 = 11*2 = 22. L'aire est égal à B*H = 6*4 = 24.

Pourquoi ne pas demander de l'aide en cours de maths en ligne ?

Les quadrilatères dérivés du parallélogramme

Les quadrilatères sont des polygones à 4 côtés. Il en existe cependant 6 cas particuliers.

Définition du quadrilatère

Le quadrilatère est une figure géométrique qui remplit les conditions suivantes :

  1. Il dispose de 4 points A, B, C et D qui sont ses sommets ;
  2. Ses sommets sont opposés deux à deux : A et C sont opposés, tout comme B et D ;
  3. Les segments [AB], [BC], [CD] et [DA] sont ses côtés ;
  4. Les diagonales [AC] et [BD] rejoignent les segments opposés.

Un quadrilatère peut-être de différents types :

  • Il est dit convexe quand ses deux diagonales sont en son intérieur ;
  • Il est dit concave lorsqu'au moins une de ses diagonales  est à l'extérieur du quadrilatère ;
  • Il est dit croisé si les deux diagonales du quadrilatère sont à l'extérieur de celui-ci. Il est donc par extension également concave.

La somme des angles du quadrilatère est calculée par le théorème sur la somme des angles d'un polygone. Il indique que la somme des angles d'un quadrilatère non croisé est de 360°.

Le théorème sur la somme des angles d'un polygone dit que la somme des angles internes d'un polygone simple d'ordre n vaut, quelle que soit sa forme :

Les différents quadrilatères

Le losange

Le losange est un quadrilatère dont la particularité est de posséder deux côtés consécutifs de même longueur. Il arrive aussi parfois qu'il porte le nom de rhombe, ce qui lui vaut comme adjectif le mot rhombique. Un rhomboèdre est donc un polyèdre à six face dont chacune d'entre elles est un losange. Il s'agit d'un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre sommets distincts.

Ses diagonales se coupent également en leur milieu et sont perpendiculaires. Il partage cette caractéristique avec les parallélogrammes. Les diagonales d'un losange sont également les bissectrices de ses angles et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux.

Côté symétrie, un losange a toujours minimum deux axes de symétrie qui sont ses diagonales. La carré et le rectangle sont des losanges particuliers. L'aire du losange se calcule avec la formule suivante :

Le rectangle

Un rectangle se caractérise comme étant un quadrilatère dont les quatre angles sont droits. Pour prouver la présence d'un rectangle, il suffit qu'un parallélogramme ait un angle droit ainsi que ses deux diagonales soient de même longueur. Comme ses côtés sont de même taille deux à deux, il est d'usage de ne distinguer que la longueur de la largeur.

On peut donc y effectuer les calculs suivants. Périmètre : Aire : Diagonale : (ce calcul est fourni par le théorème de Pythagore)

Le carré

Comment différencier le carré du losange ?
Le carré est une forme que tout le monde connait, même les plus jeunes.

On peut définir le carré comme un quadrilatère régulier. Cela signifie qu'il a un certain nombre côtés qui sont tous de la même taille. Il a les caractéristiques du losange et du rectangle. Ses 4 angles ont la même mesure et ses 4 côtés ont la même longueur. Le carré possède 4 angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses 4 côtés sont de même longueur. On peut utiliser ces formules ci-dessous pour effectuer des calculs sur les carrés.

Prenons un carré de côté c et de diagonale d.

Périmètre :

Aire :

Côté :

Diagonale :

De par sa régularité, le carré dispose de nombreux axes de symétrie. Toute droite passant par son centre de gravité le divise automatiquement en deux parties égales superposables.

Le cerf-volant

Le cerf-volant est une figure géométrique à quatre côtés dont l'une des diagonales est un axe de symétrie. Il tire son nom de l'objet éponyme, le cerf-volant que les enfants ou les passionnés utilisent. Le losange est un cas particulier du cerf-volant. Ce dernier dispose de quatre côtés égaux. et de quatre sommets distincts.

Le trapèze

Le trapèze est un parallélogramme dont les côtés opposés sont parallèles. Il existe aussi des trapèzes rectangles : ces derniers possèdent deux angles droits consécutifs.

Pour calculer l'aire d'un trapèze, on utilise cette formule : dans laquelle h représente la hauteur, a une base et c l'autre.

Méthodes

Voici quelques méthodes qui vous aideront à déterminer les natures de certains quadrilatères.

Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si elles sont toutes les deux parallèles à une même droite.

Parallélogramme

Dans un quadrilatère ABCD, si les vecteurs AB et DC sont égaux, alors ABCD est un parallélogramme. Sinon, il n'est pas un parallélogramme.

Procédure de détermination universelle

Il est possible en partant d'un quadrilatère quelconque de déterminer sa nature. Il suffit pour cela de suivre une procédure simple.

Déterminer si c'est un trapèze
  • Un quadrilatère est un trapèze si jamais deux de ses côtés sont parallèles et qu'il est non croisé ;
  • Sinon, il s'agit d'un quadrilatère quelconque.
Déterminer si c'est un parallélogramme
  • Un trapèze est un parallélogramme si et seulement si au moins l'une de ces conditions est validée :
    • Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
    • Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
    • Deux de ses côtés sont parallèles et de même longueur ;
    • Ses diagonales se coupent en leur milieu.
  • Sinon, il s'agit d'un trapèze.
Déterminer si c'est un losange
  • Un parallélogramme est un losange si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée :
    • Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur ;
    • Ses diagonales sont perpendiculaires.
  • Sinon, il s'agit d'un parallélogramme quelconque.
Déterminer si c'est un rectangle
  • Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :
    • Un de ses angles est droit ;
    • Ses diagonales sont de même longueur.
  • Sinon il s'agit d'un parallélogramme quelconque.
Déterminer si c'est un carré
  • Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors c'est un carré.

Les vecteurs

Pourquoi faut-il mettre une flèche au dessus du nom d'un vecteur ?
Dans vos copies, veillez à respecter les différentes notations afin de ne pas perdre de points bêtement.

Définition

Un vecteur est un segment orienté ayant pour origine un point de départ et pour extrémité un point d'arrivée. On définit un vecteur grâce à ses trois caractéristiques :

  • Une direction : La direction correspond à l'endroit vers lequel le segment se dirige.
  • Un sens : Le sens correspond à un côté ou l'autre, à savoir le sens AB ou le sens AB
  • Une norme : Une norme correspond à une longueur.

Les vecteurs AB et CD sont de même longueur, ont la même direction et le même sens, ils sont donc égaux. On peut noter AB = CD

Remarque : Lorsque l'on définit le vecteur AB, on note :
  • A est l'origine du vecteur
  • B est l'extrémité du vecteur
  • On peut lui donner un nom différent que le point d'origine et d'extrémité du vecteur, à savoir u
  • La norme du vecteur AB permet de définir sa longueur et se note ||AB||. On a donc ||AB|| = AB.

Propriétés

Les vecteurs possèdent les propriétés suivantes (cours de math 3eme) :

  • Soit M un point du segment [AB]. M est le milieu du segment [AB] si et seulement si AM = MB. Il est important de souligner que l'égalité AM = MB ne suffit pas à prouver que M est le milieu du segment [AB]. L'égalité avec les vecteurs est en revanche suffisante pour le prouver.
  • On définit le quadrilatère ABCD comme étant un parallélogramme si et seulement si l'égalité AB = DC est respectée (les lettres ABCD étant dans le même ordre que la deuxième image de ce cours). Attention, concernant les vecteurs pour le quadrilatère ABCD. Il faut que ces vecteurs soient égaux, à savoir même norme, même sens et même direction.
  • La translation d'un vecteur correspond au déplacement de ce dernier tout en conservant le même sens, la même direction et la même norme. La translation est donc forcément un segment parallèle du vecteur translaté.

Sommes de vecteur

L'addition de deux vecteurs se définit via la relation de Chasles. Soient 3 points A,B,C d'un plan, on a AB + BC = AC. Il est intéressant de souligner que l'addition doit se faire obligatoirement avec un point commun aux deux vecteurs : un point doit forcément être l'extrémité d'un vecteur et l'origine d'un autre. Si l'on ajoute un point D au plan, la somme AB + CD ne se simplifie pas. En revanche, grâce à la translation des vecteurs on peut tout de même réussir à calculer cette somme. Il nous suffit alors de translater le vecteur CD pour faire coïncider le point B avec le point C. On pourra alors appliquer la relation de Chasles.

Qu'est-ce que la relation de Chasles ?
Démonstration de la relation de Chasles

On sait qu'un vecteur est défini par un sens, une direction, et une norme. Le vecteur AB a donc la même direction, la même norme mais un sens opposé au vecteur BA. On note ainsi : AB = - BA.

Produits de vecteur

Soit AB un vecteur du plan, et soit k un nombre appartenant à R. Si k est un nombre réel positif :

  • Le vecteur kAB est de même direction que le vecteur AB
  • Le vecteur kAB est de même sens que le vecteurAB
  • Le vecteur kAB est de longueur k*||AB||

Si k est un nombre réel négatif :

  • Le vecteur kAB est de même direction que le vecteur AB
  • Le vecteur kAB est de sens opposé au vecteur AB et par conséquent de même sens que le vecteur BA
  • Le vecteur kAB est de longueur k*||AB||

On définit deux vecteurs colinéaires AB et CD s'il existe un nombre réel k tel que kAB = kCD ou s'il existe un réel k' tel que kCD = k'AB. Deux vecteurs sont donc colinéaires lorsqu'ils sont de même direction, de même sens ou de sens opposés (lorsque k est négatif) mais de longueur différente.

Qu'est-ce que des vecteurs colinéaires ?
Démonstration de deux vecteurs colinéaires

Cette image montre deux vecteurs colinéaires. Les vecteurs u et v sont de même direction (parallèle), de sens opposé et de longueur différentes. On peut donc noter u = kv avec k < 0. Pour tout vecteur kAB et kCD d'un plan, et pour tout nombre k et k' appartenant à R, on note :

  • k (AB + CD) = kAB + kCD
  • (k + k') AB = kAB + k'AB
  • k (k'AB) = (kk') AB

Exemple

Soient les points A(-2;−3), B(9,5), C(1,−4),D(56,x)

AB = (xb-xa,yb-ya) et CD = (xd-xc,yd-yc)

AB = (9-(-2) ; 5-(-3)) = (11 ; 8) et CD = (56-1 ; x-(-4)) = (55 ; x+4)

Pour que les vecteurs soient colinéaires, il faut trouver un facteur tel que AB = kCD

On remarque que pour les abscisses, on trouve un facteur 5. On va donc essayer de trouver le même facteur pour les ordonnées. 5AB = CD

D'où 5*8 = x+4 ⇒ 40 = x+4 ⇒ x = 36

Les vecteurs AB et CD sont donc colinéaires si et seulement si x = 36.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.