Chapitres
- 01. Commençons avec quelques définitions
- 02. Ce qu'il faut savoir concernant l'ensemble des entiers naturels
- 03. L'ensemble des nombres réels et ses opérations à étudier
- 04. Étudier, comprendre et résoudre des équations et des inéquations
- 05. Le concept de majorants et minorants
- 06. Aller plus loin dans le cours : les nombres complexes : définitions et règles de calcul
- 07. Reconnaitre le conjugué d’un nombre complexe
- 08. Résoudre des équations du second degré à coefficients réels
- 09. Exercice concernant la première identité remarquable
- 10. Exercice concernant la deuxième identité remarquable
- 11. Exercice concernant la troisième identité remarquable
Commençons avec quelques définitions
Définitions
N désigne l’ensemble des entiers naturels, on écrit N = {0, 1, 2, . . .}.
Z désigne l’ensemble des entiers relatifs, on écrit Z = {. . . ; −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Q désigne l’ensemble des nombres rationnels : Q = { a/b ; a ∈ Z, b ∈ N∗ }.
R désigne l’ensemble des nombres réels, on a : R∗ = R{0}.
R+ = {x ∈ R; x > 0} et R− = {x ∈ R; x 6 0}.
Tout élément appartenant à R et n’appartenant pas à Q est appelé irrationnel (√2 ∈ RQ signifie que √2 est un irrationnel).
C désigne l’ensemble des nombres complexes : C = {a + ib ; a ∈ R et b ∈ R} avec i² = −1
Exemples
- 0, 1, 2 sont des entiers naturels.
- -3, -2, 6 sont des entiers relatifs.
- 1/3 , 1/2 , −1, 2 sont des nombres rationnels.
- π, √2, e sont des nombres irrationnels.
- 1 + i, j = (1 + i√3) / 2 sont des nombres complexes.
Remarque
Remarque : on a les inclusions suivantes : N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R, R ⊂ C
Ce qu'il faut savoir concernant l'ensemble des entiers naturels
En Mathématiques, on suppose connu l’ensemble des entiers naturels ainsi que les opérations de base sur les nombres entiers naturels. Un principe très important portant sur l’ensemble des entiers naturels est le principe
de récurrence, nous allons dans la suite du cours décrire les principaux raisonnements permis par la
récurrence.
Le principe de récurrence est ici considéré comme un axiome, il équivaut à une propriété caractéristique de l’ensemble N des entiers naturels que nous n’exposerons pas ici.
Récurrence faible
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si pour tout entier naturel n > n0, la véracité de P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
Remarque
On s’efforcera de rédiger une démonstration par récurrence en distinguant bien les trois étapes nécessaires à la preuve de la propriété, ces étapes sont l’initialisation, l’hérédité et la conclusion, cette dernière étant souvent "oubliée" mais pourtant incontournable, vous voilà prévenus !
Exemple
Démontrons par récurrence que pour tout entier n > n0, P(n) vraie.
Initialisation : P(n0) vraie, en effet : . . .
Hérédité : soit n > n0, supposons P(n) vraie, . . ., donc P(n + 1) vraie.
Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, on conclut par récurrence que : ∀n > n0, P(n).
Récurrence forte
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1), . . . , P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
Récurrence à deux pas
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
Remarque
- On utilise la récurrence uniquement quand la propriété à démontrer dépend d’un entier naturel.
- Les principes de récurrence forte ou à deux pas sont des conséquences immédiates du principe
de récurrence faible. - Avant d’essayer une récurrence il est bon de voir s’il n’existe pas une preuve directe souvent
plus rapide.
Notation
Étant données deux entiers naturels n et p avec n ≤ p, on notera [n, p] l’ensemble des entiers naturels compris entre n et p. On adoptera la dénomination : « l’intervalle d’entiers compris entre n et p » pour le décrire.
L'ensemble des nombres réels et ses opérations à étudier
Addition
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a + b = b + a (commutativité)
- (a + b) + c = a + (b + c) (associativité)
On dit que l’addition des nombres réels est commutative et associative.
Multiplication
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a × b = b × a (commutativité)
- (a × b) × c = a × (b × c) (associativité)
La multiplication des réels est aussi commutative et associative.
Soient a et b deux réels, on a : a × b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a × (b + c) = a × b + a × c (distributivité à gauche)
- (a + b) × c = a × c + b × c) (distributivité à droite)
C’est la distributivité de la multiplication sur l’addition des nombres réels.
Règle de calculs sur les quotients
Soient a, b, c et d quatre nombres réels avec b et d non nuls, on a :
a/b + c/d = (ad + bc)/bd ; a/b × c/d = ac/bd ; a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc si c ≠ 0
Valeur absolue
Soit x un réel, on notera |x| =
- x si x > 0
- −x si x < 0
Remarque
- Sur un axe gradué, |x| est la distance du point d’abscisse x à l’origine de l’axe.
- De la même façon |a − b| est la distance séparant les points d’abscisses respectives a et b sur un
axe gradué.
Théorème : Inégalité triangulaire
Soient x et y deux nombres réels, on a :
||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
avec égalité en (1) ssi xy ≤ 0 et égalité en (2) ssi xy ≥ 0
Calcul avec radicaux
- Soient x et y deux réels positifs, on a : √xy = √x √y.
- Soit x un réel positif, √x² = x.
- Soit x un réel quelconque, √x²0 = |x|.
Attention, ce dernier point est un écueil sur lequel s’échoue bien des étudiants débutants... vous voilà prévenus.
Identités remarquables
Pour tous réels a et b on a :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
Définitions : Règles de calcul
Développer c'est transformer un produit en somme.
Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun.
Réduire c'est effectuer dans une expression littérales des calculs possibles.
On peut utiliser la distributivité de la multiplication.
\[ k \times \left( a + b \right) = k \times a + k \times b \]
\[ k \times \left( a - b \right) = k \times a - k \times b \]
\[ \left( a + b \right) \times \left( c + d \right) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d \]
\[ \left( a - b \right) \times \left(c + d \right) = a \times c + a \times d - b \times c - b \times d \]
\[ \left( a + b \right) \times \left(c - d \right) = a \times c - a \times d + b \times c - b \times d \]
\[ \left( a - b \right) \times \left( c - d \right) = a \times c - a \times d - b \times c + b \times d \]
Partie entière
Soit x un réel, il existe un unique nombre entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1.
Ce nombre n est appelé partie entière de x et sera noté ⌊x⌋.
Étudier, comprendre et résoudre des équations et des inéquations
Les différents types d’intervalles de nombres réels :
- [a, b] (fermé borné), contient tous les réels compris entre a et b inclus.
- ]a, b[ (ouvert borné), idem mais a et b exclus.
- ]a, b] (resp. [a, b[) (semi-ouvert borné), contient tous les réels strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b (resp. réels supérieurs ou égaux à a et strictement inférieurs à b).
- [a, +∞[ (resp. ] − ∞, b]) (semi-ouvert non borné), contient tous les réels supérieurs ou égaux à a (resp. réels inférieurs ou égaux à b).
- ]a, +∞[, ]−∞, b[ ou ]−∞, +∞[ (ouvert non borné) idem que précédemment avec des inégalités strictes.
Équation du premier et second degré
Une égalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’égalité.
Une égalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres
de l’égalité.
Soient a et b deux réels avec a non nul, l’équation ax + b = 0 possède une unique solution : x = −b/a.
On considère l’équation ax2 + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
Le nombre b² − 4ac est appelé discriminant de l’équation, il est noté ∆.
On rappelle alors le résultat suivant :
- Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (− b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
- Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a
Remarque
dans le cas où ∆ > 0 on a le résultat suivant :
- x1 + x2 = −b/a
- x1 × x2 = c/a
Ceci permet, une solution étant connue, de déterminer l’autre très rapidement.
Inéquations
Une inégalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’inégalité.
Une inégalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement positif les deux membres de l’inégalité.
Une inégalité change de sens lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres de l’inégalité.
Le concept de majorants et minorants
Généralités
On considère une partie A de R.
- S’il existe M ∈ R tel que ∀x ∈ A, x 6 M alors on dit que A est majorée par M et M est un majorant de A.
- S’il existe m ∈ R tel que ∀x ∈ A, x > m alors on dit que A est minorée par m et m est un minorant de A.
- Si A est majorée et minorée alors on dit que A est bornée.
Remarque
les réels m et M ci-dessus n’appartiennent pas nécessairement à la partie A.
Exemple
La partie A = { 1/n ; n ∈ N∗} est bornée par 0 et 1.
Définitions
- S’il existe α ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≤ α alors on dit que α est le plus grand élément de A. On note α = max(A).
- S’il existe β ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≥ β alors on dit que β est le plus petit élément de A. On note β = min(A).
Une partie de R n’admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément
Borne supérieure et borne inférieure
Soit A une partie de R, notons M+ (resp. M−) l’ensemble des majorants (resp. minorants) de A.
- Si M+ possède un plus petit élément alors c’est le plus petit des majorants de A, on l’appelle la borne supérieure de A, notée sup(A).
- Si M− possède un plus grand élément alors c’est le plus grand des minorants de A, on l’appelle la borne inférieure de A, notée inf(A).
Théorème
Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.
Toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.
Caractérisation des bornes sup et inf
Soit A une partie non vide et majorée de R et α ∈ R.
α = sup(A) ⇐⇒
- ∀x ∈ A, x ≤ α
- ∀ε > 0, ∃x ∈ A, α − ε < x ≤ α
Soit A une partie non vide et minorée de R et β ∈ R.
β = inf(A) ⇐⇒
- ∀x ∈ A, x ≥ β
- ∀ε > 0, ∃x ∈ A, β ≤ x < β + ε
Aller plus loin dans le cours : les nombres complexes : définitions et règles de calcul
On admet l’existence d’un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, contenant R et un nombre non réel noté i vérifiant i² = −1.
C est l’ensemble des nombres s’écrivant sous la forme z = a + ib où a et b sont des nombres réels.
Cet ensemble est structuré par une addition et une multiplication induites par l’addition et la multiplication dans R.
C = {a + ib ; (a, b) ∈ R²}
L’écriture z = a + ib d’un nombre complexe (où a et b sont des réels) est appelée forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z.
Notations : a = Re(z) et b = Im(z).
Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire,
i.e : a + ib = a' + ib' ⇐⇒ a = a' et b = b'.
Conséquences :
- un complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles ;
- la forme algébrique d’un nombre complexe est unique.
∀(z, z') ∈ C² , zz' = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z' = 0
Reconnaitre le conjugué d’un nombre complexe
Définition et propriétés
Un nombre complexe qui s’écrit iy avec y ∈ R est appelé imaginaire pur.
Conséquences :
- un complexe est réel ssi sa partie imaginaire est nulle ;
- un complexe est imaginaire pur ssi sa partie réelle est nulle.
On note iR l’ensemble des imaginaires purs.
Soit z = x+iy un complexe sous forme algébrique. Le nombre x−iy noté z¯ est appelé conjugué de z. z¯ = x − iy
Caractérisation des réels et des imaginaires purs
Soit z ∈ C.
z ∈ R ⇐⇒ z = ¯z
z ∈ iR ⇐⇒ z = −z¯
Attention, Soient a et b deux complexes, a − ib n’est pas le conjugué de a + ib.
Interprétation géométrique de la conjugaison
Soit M un point d’affixe z dans le plan complexe.
Le point M' d’affixe z' est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses du repère
Remarque
la conjugaison est donc interprétée en terme de symétrie axiale dans le plan complexe.
Par suite il est facile de voir que le conjugué du conjugué d’un complexe z est égal à z. On dit que la conjugaison est une involution.
Résoudre des équations du second degré à coefficients réels
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
On pose ∆ = b² − 4ac et l’on a :
- Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (−b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
- Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a.
- Si ∆ < 0 alors l’équation possède deux solutions qui sont des nombres complexes conjugués :
x1 = (−b − i√|∆|) / 2a et x2 = (−b + i√|∆|) / 2a.
On dispose d’un résultat permettant la factorisation de l’expression ax² + bx + c = 0 si a non nul :
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
- Si l’équation possède deux solutions réelles ou complexes x1 et x2 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
- Si l’équation possède une solution x0 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x0)²
Remarque
dans le cas où ∆ ≠ 0 on a le résultat suivant :
x1 + x2 = −b/a
x1 × x2 = c/a
Ceci permet, une solution étant connue, de déterminer l’autre très rapidement.
Exercice concernant la première identité remarquable
Le carré d'une somme de deux termes est égal au carré du premier plus le double produit du premier par le second plus le carré du second:
(a + b)²= a² + 2ab + b²
Exemple 1
Question : développer (a+3)²
Réponse : (a+3)² = a² + 2 x a x 3 + 3²
= a² + 6a + 9
Exemple 2
Question : factoriser a² + 10a + 25
Réponse : a² + 10a + 25 = (a+5)²
= (a+5)(a+5)
Exercice concernant la deuxième identité remarquable
Le carré d'une différence de deux termes est égal au carré du premier moin le double produit du premier par le second plus le carré du second:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Exemple 1
Question : développer ( X - 5)²
Réponse: (X-5) = x² - 2 X 5 + 5²
= x² - 10x + 25
Exemple 2
Question : factoriser y² - 6y +9
Réponse : y² - 6y + 9 = (y-3)²
= (y - 3)(y - 3)
Exercice concernant la troisième identité remarquable
Le produit de la somme de deux termes par leur différence est égal au carré du premier moins le carré du second:
(a + b)(a - b) = a² - b²
Exemple 1
Question : développer (a - 3)(a + 3)
Réponse : (a - 3)(a + 3) = a² - 9
Exemple 2
Question : factoriser t² - 25
Réponse : t² - 25 = (t + 5)(t - 5)
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Chui né en 62 j’ai suivis des cours en Afrique..,et ,je suis honter par les maths la géométrie c’est le doigt dans le nez.. mais alors l’algeb
Améliorer mon niveau en mathématiques
Bonjour, il y a une coquille dans la deuxième identité remarquable présentée.
(a – b)² = a² – 2ab² + b²
Devrait être :
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Merci pour ton commentaire David! Nous avons corrigé cette petite erreur grâce à toi 😉
Je ne suis pas sure mais je crois il y a une erreur à la deuxième je crois il y a un carré en trop
Hello Fanny, on te confirme que l’exercice est correct.
l’entité html : ×
Erreur de typo :
(a – b)² = a² – 2ab + b²
et non
(a – b)² = a² – 2ab² + b²