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AIDE SECONDE-MATHS

EQUATIONS-INEQUATIONS


18 Août 2007 Consulté 2637 fois
cours - 3ème - Mathématiques
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 EQUATIONS 

1 ) Ecrire un système de deux équations du premier degré à deux inconnues :

a ) Introduction :

A la soirée du collège,
A la première table on a servi 3 oranginas et 2 cocas pour 39 F
A la deuxième table on a servi 1 orangina et 3 cocas pour 34 F
Combien coûte l'orangina ?
Combien coûte le coca ?

Notons par exemple x le prix d'un orangina et y le prix d'un coca.

¥ Le prix payé à la première table est :

3x + 2y = 39 (1)

Cette égalité est une équation du premier degré à deux inconnues x et y.

Si x =7 et y = 9 alors 3 x 7 + 2 x 9 = 21 + 18 = 39

L'égalité est vérifieé.

Les deux valeurs x=7 et y=9 constituent un couple (7 ; 9), solution de l'équation 3x + 2y =39.

Le couple (5 ; 12) est aussi une solution car 3 x 5 + 2 x 12 = 39.

L'équation 3x + 2y =39 a une infinité de couples solutions.

Par contre, le couple (6 ; 8) n'est pas une solution car 3 x 6 +2 x 8 = 34 et 34 ­39.

L'égalité n'est pas vérifiée.

Le prix payé à la deuxième table est :

x + 3y = 34 (2)

Pour trouver le prix du coca et celui de l'orangina , il faut résoudre le système :

    2 ) Résoudre un système :

Résoudre le système c'est trouver tous les couples (x ; y) qui sont des solutions communes aux deux équations (1) et (2).

a ) Méthode par substitution :

¥ Isolonsx dans une des 2 équations, par exemple dans l'équation (2) :

x = 34 - 3y (3)

 

¥ Remplaçonsx par 34 - 3ydans l'équation (1) :

3x + 2y = 39

3(34 - 3y) + 2y = 39

102 - 9y + 2y = 39

102 - 7y = 39

102 - 39 = 7y

y = 63/7

y = 9

 

¥ Reportons y = 9 dans une équation, par exemple (3)

 

x = 34 - 3y

x = 34 - 3 x 9

x = 34 - 27

x = 7

 

¥ Vérification :

 

3 x 7 + 2 x 9 = 21 + 18 = 39

7 + 3 x 9 = 7 + 27 = 34

 

Le couple (7 ; 9) est l'unique couple solution du système.

¥ Conclusion :

 

L'orangina coûte 7 F et le coca 9 F.

b ) Méthode par addition :

Résoudre le système :

Il faut éliminer une des deux inconnues.

Pour cela, multiplions chaque membre des égalités (1) et (2) par des nombres "bien choisis" puis additionnons "membre à membre".

Par exemple :

¥ Multiplions les 2 membres de l'égalité (1) par 5 et ceux de l'équation (2) par -2 :

¥ Additionnons membre à membre les deux égalités :

(10x + 15y )+(-10x -8y) = 25 + (-32)

10x -10x + 15y -8y = 25 -32

7y = -7

y = -1

 

¥ Reportons la valeur de y dans l'un des deux équations, par exemple (1)

2x + 3y = 5

2x + 3 x (-1) = 5

2x -3 = 5

2x = 5 + 3

2x = 8

x = 4

 

¥ Vérification :

2 x 4 + 3 x (-1) = 8 - 3 = 5

5 x 4 + 4 x (-1) = 20 - 4 = 16

 

La solution du système est le couple (4 ; -1)

     

        3 ) Résoudre un problème à l'aide d'un système :

Enoncé :

Un terrain rectangulaire a un périmètre de 750 m.
La longueur mesure 15 m de plus que la largeur.
Calculer les dimensions du rectangle

Pour résoudre ce problème il faut suivre 4 étapes :

1. Choix de l'inconnue
2. Mise en équation
3. Résoudre
4. Rédiger la conclusion

1. Choix de l'inconnue

Soit x la mesure de la largeur et y la mesure de la longueur.

2. Mise en équation

3. Résoudre

utilisons la méthode par substitution :

Je remplace y par x + 15 dans (1)

2x + 2(x + 15) = 750

2x + 2x + 30 = 750

4x = 720

x = 180

je remplace x par 180 dans (2)

y = x + 15

y = 180 + 15

y = 195

4. Rédiger la conclusion

La largeur mesure 180 m et l longueur 195 m.

Voila en attendant que je poursuive cette page, je vous conseille d'aller sur ce site, qui vous aidera surement, il est très bien : http://homeomath.imingo.net merci

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