Énoncé
On considère l'expression :
A = x2 - 25 - 3( 5 - x )( x + 1 ) + 2( x - 5)2
1. Dévelloper puis réduire A
2. Factoriser au maximun A
3. Résoudre les équations A = 10 ; A = 0 ; A = 3x - 15
4. Calculer A pour x = 0 puis x = 5
Corrigé
I.
A = x2 - 25 - 3( 5 - x )( x + 1 ) + 2( x - 5)2
= x2 - 25 - ( 15 - 3x )( x + 1 ) + 2( x2 - 10x + 25 )
= x2 - 25 - 15x - 15 + 3x2 + 3x + 2x2 - 20x + 50
= 6x2 - 32x + 10
II.
A = x2 - 25 - 3( 5 - x )( x + 1 ) + 2( x - 5)2
= x2 - 52 + 3( x - 5)( x + 1 ) + 2( x - 5)2
= ( x + 5 )( x - 5 ) + 3( x - 5)( x + 1 ) + 2( x - 5)2
= ( x - 5 )[ ( x + 5 ) + 3( x + 1 ) + 2( x - 5) ]
= ( x - 5 )( x + 5 + 3x + 3 + 2x - 10 )
= ( x - 5 )( 6x - 2 )
= 2( x - 5)( 3x - 1)
III.
- Pour A = 10
6x2 - 32x + 10 = 10
6x2 - 32x = 0
2x( 3x - 16 ) = 0
Si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins des facteurs est nul.
D'où : 2x = 0 ou 3x - 16 = 0
x = 0/2 ou 3x = 16
x = 0 ou x = 16/3
Les solutions sont 0 et 16/3 .
- Pour A = 0
2( x - 5)( 3x - 1) = 0
Si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins des facteurs est nul.
D'où : x - 5 = 0 ou 3x - 1 = 0
x = 5 ou x = 1/3
Les solutions sont 5 et 1/3 .
- Pour A = 3x - 15
2( x - 5)( 3x - 1) = 3x - 15
2( x - 5)( 3x - 1) - ( 3x - 15) = 0
2( x - 5)( 3x - 1) - 3( x - 5 ) = 0
( x - 5 )[ 2( 3x - 1 ) - 3 ) = 0
( x - 5 )( 6x - 2 - 3 ) = 0
( x - 5 )( 6x - 5 ) = 0
Si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins des facteurs est nul.
D'où : x - 5 = 0 ou 6x - 5 = 0
x = 5 ou x = 5/6
Les solutions sont 5 et 5/6 .
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IV.
- Pour x = 0
A = 6x2 - 32x + 10
A = ( 6 x 02 ) - ( 32 x 0 ) + 10
A = 10
- Pour x = 5
A = 2( x - 5)( 3x - 1)
A = 2( 5 - 5 ) ( 3 x 5 - 1 )
A = 2 x 0 x ( 3 x 5 - 1 )
A = 0
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