Chapitres
Le théorème de Thalès
Thalès était un savant et philosophe grec né en 625 et mort en 547 avant J.-C.
Théorème de Thalès :
- Soient un triangle ABC, M un point de (AB) et N un point de (AC).
- Si (MN) et (BC) sont parallèles , alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
En cours de mathématiques, le théorème de Thalès sert à calculer une longueur.
Exemples d’application :
→ Calculer une longueur
On sait que (TR) et (FD) sont parallèles. Calculer MR et FD.
> On sait que TMR est un triangle, D appartient à (MT), F appartient à (MR) et (TR) et (FD) sont parallèles.
> Donc, d’après le théorème de Thalès, on a : MT/MD = MR/MF = TR/DF.
> D’où, 40/50 = MR/70 = 26/DF.
> Et, par conséquent, MR = 40 x 70/50 = 56 cm et DF = 50 x 26/40 = 32.5 cm.
→ Partage proportionnel d’un segment
Tracer un segment [AB] de longueur 11 cm. Construire un segment [AC] tel que AC = 4/7 AB. Comment construire le point C ?
>> Le problème revient à partager le segment [AB] en 7 segments égaux.
Plan de construction :
- Tracer une demi-droite [Ax).
- Sur [Ax), reporter à partir de A 7 segments de même longueur et placer la point P.
- Placer ensuite, sur [Ax), le point L à 4 longueurs de A.
- Tracer la droite (PB) et sa parallèle passant par L. Elle coupe le segment [AB] en C.
Preuve :
> On sait que ACL est un triangle, B appartient à (AC), P appartient à (AL) et (CL) et (BP) sont parallèles.
> Donc, d’après le théorème de Thalès, on a : AL/AP = AC/AB.
> D’où : 4/7 = AC/AB
> Et, par conséquent, AC = 4/7 AB : ce qui était demandé !
Réciproque du théorème de Thalès :
- Soient un triangle ABC, M un point de (AB) et N un point de (AC).
- Si les points, A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que 2 droites sont parallèles.
Exemples d’application :
→ Montrer que 2 droites sont parallèles
On sait que LD = 7.5 cm et que LU = 20 cm. Les droites (OA) et (UD) sont-elles parallèles ?
> On sait que LO/LU = 4/10 = 2/5 et LA/LD = 3/7.5 = 2/5, d’où LO/LU = LA/LD.
> On sait que LOA est un triangle, U appartient à (LO), D appartient à (LA), les points L, O, U et les points L, A, D sont alignés dans le même ordre et que LO/LU = LA/LD.
> Donc, d’après la réciproque tu théorème de Thalès, les droites (OA) et (UD) sont parallèles.
→ Montrer que 2 droites ne sont pas parallèles
Les droites (HN) et (IJ) sont-elles parallèles ?
> On sait que GH/GJ = 10/1.5 = 20/3 et GN/GI = 12/2 = 6, d’où GH/GJ ≠ GN/GI.
> On sait que GIJ est un triangle, H appartient à (GJ), N appartient à (GI), les points H, G, J et les points N, G, I sont alignés dans le même ordre et GH/GJ ≠ GN/GI.
> Donc, les droites (HN) et (IJ) ne sont pas parallèles.
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