Chapitres
- 01. Opposé d'un nombre
- 02. Inverse d'un nombre
- 03. Autres opérations
- 04. Utilité de ces notions
- 05. Exercices corrigés
Opposé d'un nombre
Définition
Soit a et b deux nombres entiers uniques. L'opposé du nombre a est tel que a + b = 0. En d'autres termes, l'opposé du nombre a est égal à -a. Pour obtenir l'opposé d'un nombre, il suffit donc de changer le signe de ce dernier. Par exemple l'opposé du nombre 3 est égal à -3. Inversement, l'opposé de -3 est égal à 3.
Dans le cas d'un nombre réel, l'opposé d'un notre est le nombre qui, ajouté par x, donne 0. Il se note donc -x.
Remarque : L'opposé fonctionne également pour les variables. Soit x une variable réelle, l'opposé de x est égal à -x.
Opposé d'une fraction
Soit a et b deux nombres entiers d'une fraction avec a étant le numérateur et b le dénominateur. L'opposé de la fraction a/b est égal à -a/b ou a/-b ou -(a/b).
Représentation graphique
Soit un segment AB compris sur [-10;10]. Soit 3 un nombre associé à ce segment AB. On trace le point -3 comme étant le symétrique par le point 0 du point 3.
La distance par rapport à 0 est identique lorsque l'on trace graphiquement le nombre et son opposé.
Inverse d'un nombre
Définition
Soit a un nombre entier différent de 0 et soit b un nombre entier. L'inverse d'un nombre a est tel que a*b = 1. En d'autres termes, l'inverse du nombre a est égal à 1/a. Pour obtenir l'inverse d'un nombre, on peut passer par la procédure suivante :
- 1. On mets le nombre sous forme de fraction avec 1 au dénominateur a = a/1
- 2. On inverse les termes du numérateur et du dénominateur : a/1 a pour inverse 1/a
A noter que l'inverse de 0 n'existe pas car il est impossible de diviser par 0 en mathématiques. En effet, la division par 0 ne représente rien car on ne peut pas diviser une partie par quelque chose qui n'existe pas.
Pour un nombre réel, son inverse est le nombre qui multiplié par x, donne 1. On le notera alors x-1.
Inverse d'une fraction
Soit a et b deux nombres entiers d'une fraction avec a étant le numérateur et b le dénominateur. L'inverse de la fraction a/b est égal à b/a. On a par conséquent échangé le numérateur et le dénominateur.
Pourquoi ne pas demander de l'aide en cours de maths en ligne ?
Représentation graphique
Soit un segment AB compris sur [-10;10]. Soit 3 un nombre associé à ce segment AB. On trace le point 1/3 et 3 sur le graphique. Contrairement à l'opposé, il n'y a pas de règles concernant l'inverse d'un nombre. Ce dernier peut être plus grand ou plus petit.
Si le nombre est inférieur à 1, son inverse sera quant à lui supérieur à 1. Inversement, si le nombre est supérieur à 1, l'inverse sera quant à elle inférieure à 1.
Autres opérations
En cours de math, pour résumer l'ensemble des opérations standards sur les nombres, nous avons consigné les opérations courantes dans le tableau. Cela correspond à différentes opérations :
- Le double consiste à multiplier le nombre par 2
- La moitié consiste à diviser le nombre par 2
- Le triple consiste à multiplier le nombre par 3
- Le tiers consiste à diviser le nombre par 3
- L'opposé consiste à modifier le signe du nombre
- Le carré consiste à multiplier le nombre par lui-même
| Nombre | Double | Moitié | Triple | Tiers | Opposé | Inverse | Carré |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Il n'existe pas d'inverse | 0 |
| 1 | 2 | 1/2 | 3 | 1/3 | -1 | 1/1 = 1 | 1 |
| 10 | 20 | 5 | 30 | 10/3 | -10 | 1/10 | 100 |
| -1 | -2 | -1/2 | -3 | -1/3 | 1 | 1/-1 = -1 | 1 |
| 2/3 | 4/3 | 2/6 | 2 | 2/9 | -2/3 | 3/2 | 4/9 |
| π | 2π | π/2 | 3π | π/3 | -π | 1/π | π*π |
Le carré d'un nombre est toujours positif quel que soit le signe du nombre. Nous verrons dans les leçons suivantes qu'il existe encore d'autres types d'opérations telle que la puissance, la racine ou autre. Tous ces éléments seront vus au fur et à mesure.
Utilité de ces notions
Sciences humaines
En sciences humaines, ce sont les statistiques et les probabilités qui sont encore une fois au centre des études.
Que ce soit pour la psychologie, la finance ou encore la sociologie, aucun travail n'est possible sans appliquer des règles de logique.
L'une des matières en sciences humaines les plus dur à caler sur un modèle mathématique est l'économie. En effet, en matière d'économie les hommes ne fonctionnent pas toujours en toute logique, en laissant passer d'autres sujets avant le gain pur et simple d'argent, comme le don ou encore les sentiments.
Physique
La physique est sûrement l'une des matières pour lesquelles les mathématiques sont les plus utilisées. En astronomie par exemple, les constellations, la détermination de leur distance entres elles ou par rapport à la Terre ont été calculées dès le début grâce à des théorèmes de géométrie comme le théorème de Pythagore ou le théorème de Thalès.
Pour les modélisations aussi, de plus en plus utilisées dans nos sciences modernes, les mathématiques font partie intégrante de chaque étude. L'informatique prend également de plus en plus de place avec l'arrivée d'ordinateurs puissants capables de modéliser des situations avec de plus en plus de variables.
La plupart des lois physiques ont été énoncées par des mathématiciens, en quête d'expliquer par des calculs les phénomènes physiques.
Sciences de la Vie et de la Terre
En SVT, les mathématiques aident à effectuer des modélisations et des projections. Par exemple, pour analyser l'évolution d'une espèce lors de sa reproduction, on utilisera des probabilités, avec la Chaîne de Markov notamment.
L'évolution des génotypes est aussi analysée grâce aux mathématiques, avec le principe de Hardy-Weinberg.
On retrouve aussi les mathématiques dans la virologie, pour voir comment se propage un virus au sein d'une population ou encore l'efficacité d'un traitement.
Chaîne de Markov
La Chaîne de Markov est un processus qui possède la propriété de Markov : les évènements prédits le sont à partir des informations présentes sur les variables et les évènements antérieurs au présent n'entrent pas en ligne de compte.
Ce nom vient de l'inventeur de ces notions, Andreï Markov, un mathématicien russe.
L'exemple le plus connu pour illustrer ces chaînes de Markov est celui du hamster Doudou, dont la vie se représente facilement par un processus sans mémoire.
Doudou est un hamster à la vie simple : sa vie se divise entre trois lieux distincts de sa cage.
- Les copeaux de bois sur lesquels il dort ;
- La mangeoire dans laquelle il trouve ses croquettes ;
- La roue qui lui sert à faire de l'exercice.
Chaque minute qui passe offre un dilemme à Doudou, continuer son activité ou en démarrer une nouvelle. Ses actions respectent les règles suivantes :
- Quand Doudou dort, il a 9 chances sur 10 de ne pas se réveiller à la minute suivante ;
- Quand Doudou se réveille, il y a 1 chance sur 2 qu'il aille manger et 1 chance sur 2 qu'il fasse de l'exercice ;
- Quand il mange, cela dure 1 minute. Ensuite, il fait autre chose : il y a 3 chances sur 10 qu'il aille faire de l'exercice et 7 chances sur 10 qu'il aille se coucher ;
- Courir est une activité fatigante. Il y a alors 8 chances sur 10 que Doudou aille dormir après son exercice. Sinon il continue à courir un peu.
A partir de ces règles de probabilité, on peut définir un diagramme de probabilité.
Exercices corrigés
Exercices
Exercice 1 :
1. Quel est l'opposé de 2 ?
2. Quel est l'opposé de 5 ?
3. Quel est l'opposé de -3 ?
4. Quel est l'opposé de 0 ?
5. Quel est l'opposé de -10?
6. Quel est l'opposé de 53 ?
7. Quel est l'opposé de -23 ?
8. Quel est l'opposé de 21 ?
9. Quel est l'opposé de 2/3 ?
10. Quel est l'opposé de 9/10 ?
11. Quel est l'opposé de 1 ?
12. Quel est l'opposé de -9 ?
13. Quel est l'opposé de 8 ?
Exercice 2 : En reprenant les nombres de l'exercice précédent, donner pour chacun des nombres l'inverse, la moitié, le double, le tiers, le triple et le carré.
Corrigés
Exercice 1 :
1. L'opposé de 2 est égal à -2
2. L'opposé de 5 est égal à -5
3. L'opposé de -3 est égal à -3
4. L'opposé de 0 est égal à 0
5. L'opposé de -10 est égal à -10
6. L'opposé de 53 est égal à -53
7. L'opposé de -23 est égal à 23
8. L'opposé de 21 est égal à -21
9. L'opposé de 2/3 est égal à -2/3
10. L'opposé de 9/10 est égal à -9/10
11. L'opposé de 1 est égal à -1
12. L'opposé de -9 est égal à 9
13. L'opposé de 8 est égal à -8
Exercice 2 :
Pour le nombre 2 :
L'inverse de 2 est égale à 1/2. La moitié de 2 est égale à 1. Le double de 2 est égal à 4. Le tiers de 2 est égal à 2/3. Le triple de 2 est égal à 6. Le carré de 2 est égal à 4. 2.
Pour le nombre 5 :
L'inverse de 5 est égale à 1/5. La moitié de 5 est égale à 5/2. Le double de 5 est égal à 10. Le tiers de 5 est égal à 5/3. Le triple de 5 est égal à 15. Le carré de 5 est égal à 25. 3.
Pour le nombre -3 :
L'inverse de -3 est égale à -1/3. La moitié de -3 est égale à -3/2. Le double de -3 est égal à -6. Le tiers de -3 est égal à -1. Le triple de -3 est égal à -9. Le carré de -3 est égal à 9. 4.
Pour le nombre 0 :
L'inverse de 0 n'existe pas. La moitié de 0 est égale à 0. Le double de 0 est égal à 0. Le tiers de 0 est égal à 0. Le triple de 0 est égal à 0. Le carré de 0 est égal à 0. 5.
Pour le nombre -10 :
L'inverse de -10 est égale à -1/10. La moitié de -10 est égale à -5. Le double de -10 est égal à -20. Le tiers de -10 est égal à -10/3. Le triple de -10 est égal à -30. Le carré de -10 est égal à 100. 6.
Pour le nombre 53 :
L'inverse de 53 est égale à 1/53. La moitié de 53 est égale à 53/2. Le double de 53 est égal à 106. Le tiers de 53 est égal à 53/3. Le triple de 53 est égal à 150. Le carré de 53 est égal à 2809. 7.
Pour le nombre 23 :
L'inverse de 23 est égale à 1/23. La moitié de 23 est égale à 23/2. Le double de 23 est égal à 46. Le tiers de 23 est égal à 23/3. Le triple de 23 est égal à 69. Le carré de 23 est égal à 529. 8.
Pour le nombre -21 :
L'inverse de -21 est égale à -1/21. La moitié de -21 est égale à -21/2. Le double de -21 est égal à -42. Le tiers de -21 est égal à -21/3. Le triple de -21 est égal à -63. Le carré de -21 est égal à 441. 9.
Pour le nombre -2/3 :
L'inverse de -2/3 est égale à -3/2. La moitié de -2/3 est égale à -2/6. Le double de -2/3 est égal à -4/3. Le tiers de -2/3 est égal à -2/9. Le triple de -2/3 est égal à -2. Le carré de -2/3 est égal à 4/9. 10.
Pour le nombre -9/10 :
L'inverse de -9/10 est égale à -10/9. La moitié de -9/10 est égale à -9/20. Le double de -9/10 est égal à -9/5. Le tiers de -9/10 est égal à -9/30. Le triple de -9/10 est égal à -27/10. Le carré de -9/10 est égal à 81/100.
On peut résumer l'ensemble des résultats dans le tableau suivant :
| Nombre | Inverse | Moitié | Double | Tiers | Triple | Carré |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1/2 | 1 | 4 | 2/3 | 6 | 4 |
| 5 | 1/5 | 5/2 | 10 | 5/3 | 15 | 25 |
| -3 | -1/3 | -3/2 | -6 | -3/3 = -1 | -9 | 9 |
| 0 | Impossible | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| -10 | -1/10 | -5 | -20 | -10/3 | -30 | 100 |
| 53 | 1/53 | 53/2 | 106 | 53/3 | 159 | 2809 |
| 23 | 1/23 | 23/2 | 46 | 23/3 | 69 | 529 |
| -21 | -1/21 | -21/2 | -42 | -21/3 | -63 | 441 |
| -2/3 | -3/2 | -2/6 = -1/3 | -4/3 | -2/9 | -2 | 4/9 |
| -9/10 | -10/9 | -9/20 | -9/5 | -9/30 | -27/10 | 81/100 |
Vous avez aimé cet article ? Notez-le !
Loading...
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
Bien parfait 👌 merci.
J’ai aimé ce site