Chapitres
- 01. Définition
- 02. Représentation graphique
- 03. Expression d'une proportion
- 04. Sous-ensemble imbriqué
- 05. Définition
- 06. Exercices corrigés
Définition
Soient A et B deux ensembles contenant respectivement a et b éléments (avec a et b non nul). On considère que l'ensemble B de b éléments est compris dans l'ensemble a d'éléments. On considère que la proportion de B par rapport à A est un nombre réel tel que : $Proportion = \frac{B}{A} = \frac{Nombre.elements.b}{Nombre.elements.a}$ Soit A un ensemble appelé population, ayant un nombre a d'éléments (a non nul) et B une partie de l'ensemble A, une sous-population, ayant un nombre b d'événements. Remarque :
- Pour que B soit une sous-population de A, il faut que le nombre b d'éléments soit strictement inférieur au nombre a d'éléments
- La valeur de la proportion est un nombre réel compris entre 0 et 1
- On note l'ensemble A une population et l'ensemble B une sous-population
- Le nombre d'éléments à l'intérieur d'une même population est appelée effectif
Représentation graphique
Graphiquement, on peut représenter de différentes manières la proportion entre deux nombres. On pourra à l'instar des ensembles de nombres utiliser une ellipse comprise à l'intérieur d'une autre pour démontrer la proportion entre les 2. Comme l'image de l'article le présente, on peut utiliser des modèles très simples composés d'anneaux superposés. Par exemple, on voit que le chiffre 4 possède 4 anneaux et le chiffre 6 en possède 6. Visuellement, on peut facilement identifier que le nombre d'anneaux dans 4 est compris dans le nombre d'anneaux dans 6. L'ensemble de nombres N est compris dans l'ensemble de nombres Z. Il y a donc un rapport de proportion entre les deux. Cette remarque s'applique pour tout ensemble de nombre inférieur à un ensemble plus grand.
Expression d'une proportion
Fraction
Afin de représenter un ensemble de nombre facilement et sans problématique de nombres réels, on peut utiliser les fractions. Par exemple, on sait qu'il existe une classe A de 45 élèves dans un collège de 85 élèves. A partir de là, si on veut déterminer la proportion de 45 par rapport à 85, on a juste à écrire la fraction du plus petit sur le plus grand à savoir $\frac{45}{85}$. Enfin, par soucis de lisibilité, on simplifie cette fraction : $\frac{45}{85} = \frac{9}{17}$. On en conclut que 45 contient 9/17ème de nombres par rapport à 85. Par conséquent, 9/17ème des élèves du collège appartiennent à la classe A.
Nombre décimal
La méthode des fractions vu ci-dessus laisse un goût d'inachevé car il est difficile de se représenter réellement à combien équivaut 9/17ème d'un nombre. Pour cela, il suffit simplement d'écrire la valeur approximative du résultat avec un nombre décimal. Ainsi, en reprenant le même exemple : $\frac{45}{85} approx 0.53$. On en conclut que 45 contient environ 0.53 fois plus de nombres que 85. Inversement, $\frac{85}{45} approx 1.89$. 85 contient approximativement 1.89 fois plus de nombres que 45.
Pourcentage
Les deux méthodes vu précédemment ont pour chacune d'entre elles des avantages et des inconvénients. En effet, le modèle fractionnaire donne une valeur exacte mais difficile à interpréter. Quand au modèle sous forme de nombre décimal, il donne une valeur plus facile à interpréter mais qui devient une approximation. Pour trouver un compromis entre ces deux méthodes présentées ci-dessus, on peut utiliser le modèle dit de pourcentage. L'idée étant de représenter ces nombres comme étant des fractions de 100 et de définir quelle fraction de 100 est retiré entre ces deux nombres. Pour déterminer le pourcentage de 45 par rapport à 85, on réutilise le modèle fractionnaire et on multiplie le résultat par 100 : $\frac{45}{85}*100 approx 53%$ On en déduit par conséquent que 45 représente 53% de 85. Les pourcentages étant un modèle extrêmement utilisé, il est possible de devoir effectuer tout type d'opérations avec. Nous verrons plus en détails dans les exercices quels peuvent être les différents types de calcul à effectuer.
Sous-ensemble imbriqué
Définition
Soient A,B,C trois ensembles contenant respectivement a,b et c éléments (avec a,b,c non nul). On considère que l'ensemble B de b éléments est compris dans l'ensembleA de a d'éléments et que l'ensemble C de c éléments est compris dans l'ensemble B de b d'éléments. On considère que la proportion de C par rapport à B est un nombre réel tel que : $Proportion = \frac{c}{b} = \frac{Nombre.elements.c}{Nombre.elements.b}$ et la proportion de B par rapport à A est un nombre réel tel que : $Proportion = \frac{b}{a} = \frac{Nombre.elements.c}{Nombre.elements.b}$ On considère que C est un sous-ensemble de B et B est un sous-ensemble de A. Par conséquent, C est un sous-ensemble imbriqué. Remarque :
- Il n'existe pas de limite par rapport au nombre de sous-ensembles imbriqués. Par exemple, pour l'ensemble des nombres affiché dans la première image du cours, on peut voir qu'il existe une multitude de sous-ensemble imbriqués.
- On peut calculer la proportion par rapport à l'ensemble au dessus, ou à deux ensembles au dessus et ainsi de suite.
- Quelque soit le calcul du sous-ensemble par rapport à un plus grand ensemble, la valeur du nombre décimal obtenue sera toujours comprise entre 0 et 1
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Fraction
Comme précédemment, nous allons étudier le modèle fractionnaire pour étudier la proportion entre les ensembles. Reprenons notre exemple, et ajoutons un nouveau nombre inférieur aux deux autres afin d'être un sous-ensemble imbriqué. Prenons donc comme exemple, les nombres 20,45 et 85 avec 20 le nombre d'élèves dans une classe B de ce même collège. On a déjà calculé le nombre 45 par rapport à 85. On va en revanche étudié le nombre 20 par rapport à 45 et le nombre 20 par rapport à 85. Pour déterminer la proportion de 20 par rapport à 45, on traduit simplement cela par la fraction : $\frac{20}{45} = \frac{4}{9}$. Donc 20 représente quatre neuvième de 45. Pour déterminer la proportion de 20 par rapport à 85, on peut utiliser deux méthodes :
- 1. On détermine directement la fraction de 20 par rapport à 85 :
$\frac{20}{85} = \frac{4}{17}$. Donc 20 représente les quatre dix-septième de 85.
- 2. On multiplie les deux fractions obtenues pour chacun des sous-ensemble :
$\frac{20}{45}*\frac{45}{85} = \frac{4}{9}*\frac{9}{17} = \frac{4}{17}$. On obtient bien le même résultat.
Nombre décimal
Comme précédemment, il suffit simplement d'effectuer le calcul de la fraction pour obtenir le résultat sous forme de nombre décimal. On étudie à nouveau les nombres 20,45,85 : $\frac{20}{45} = \frac{4}{9} approx 0.44$. 20 contient environ 0.44 fois plus de nombres que 45. Inversement, $\frac{45}{20} = 2.25$. 45 contient exactement 2.25 fois plus de nombres que 20. On fait de même pour le sous-ensemble imbriqué : $\frac{20}{85} approx 0.23$. 20 contient environ 0.23 fois plus de nombres que 85. Inversement, $\frac{85}{20} = 4.25$. 85 contient exactement 4.25 fois plus de nombres que 20.
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Pourcentage
On détermine ici les pourcentages de 20,45 et 85. $\frac{20}{45}*100 approx 44%$. 20 représente 44% de 45. Il y a 44% d'élèves dans la classe B par rapport à la classe A. $\frac{20}{85}*100 approx 23%$. 20 représente 23% de 85. Il y a 20¨% d'élèves dans la classe B par rapport au nombre total d'élèves dans le collège. Remarque : Plus le sous-ensemble est imbriqué, plus le pourcentage sera faible par rapport à un plus grand ensemble.
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Exercices corrigés
Exercice
Exercice 1 : Comparaison de deux fractions Comparer les fractions $\frac{7}{11}$ et $\frac{9}{11}$, $\frac{4}{7}$ et $\frac{8}{7}$,$\frac{7}{11}$ et $\frac{9}{7}$, $\frac{15}{11}$ et $\frac{9}{7}$ Exercice 2 : Pourcentage de nombres Déterminer le pourcentage des nombres suivantes : 10% de 50; 40% de 60; 25% de 140; 37% de 250; 46% de 105 Exercice 3 : Mise en situation Vous partez de chez vous pour faire les courses et les soldes. Dans les différents produits que vous trouvez, vous trouvez un paquet de céréales de 60g avec écrit +15% offerts. Par la suite, en achetant un pull, vous voyez que ce dernier a une réduction de 30% par rapport à son prix initial de 70€. 1. Quel est le nouveau poids du paquet de céréales en ajoutant les 15% offerts ? 2. Quel est le nouveau prix du pull en prenant en compte la réduction de 30% ? Exercice 4 : Calcul de pourcentage 1. Une classe est composée de 32 élèves : 18 élèves sont des filles et 14 élèves sont des garçons. Quel est le pourcentage de filles dans la classe ? 2. 35% des ballons de basket de l'école sont dégonflés. Il existe en tout 40 ballons. Combien de ballons sont dégonflés ?
Corrigés
Exercice 1 : Pour comparer $\frac{7}{11}$ et $\frac{9}{11}$, on remarque que ces deux fractions ont le même dénominateur. Or 7 <9, donc $\frac{7}{11}$ est compris dans $\frac{9}{11}$. Idem que pour les fractions ci-dessus, $\frac{4}{7}$ et $\frac{8}{7}$ ayant le même dénominateur, on compare les numérateurs. Donc $\frac{4}{7}$ est compris dans $\frac{8}{7}$. Pour comparer $\frac{7}{11}$ et $\frac{9}{7}$, on remarque que la fraction 7/11 est inférieure à 1 car le numérateur est inférieur au dénominateur. A l'inverse, 9/7 est supérieur à 1 car le numérateur est supérieur au dénominateur. Donc $\frac{7}{11}$ est compris dans $\frac{9}{7}$. Les fractions $\frac{15}{11}$ et $\frac{9}{7}$ n'ont pas de dénominateur commun et sont toutes deux supérieures à 1. Pour déterminer laquelle est compris dans l'autre on cherche alors à déterminer un dénominateur commun : $\frac{15}{11} = \frac{105}{77}$ et $\frac{9}{7} = \frac{99}{77}$. 99 < 105, donc $\frac{9}{7}$ est compris dans $\frac{15}{11}$ Exercice 2 : Pourcentage de nombres 10% de 50 : On fait le calcul suivant (50*10)/100 = 5 40% de 60 : On fait le calcul suivant (60*40)/100 = 24 25% de 140 : On fait le calcul suivant (140*25)/100 = 35 37% de 250 : On fait le calcul suivant (250*37)/100 = 92.5 46% de 105 : On fait le calcul suivant (105*46)/100 = 48.3 Exercice 3 : Mise en situation 1. Ici, contrairement à d'habitude on souhaite ajouter un pourcentage et non calculer le pourcentage d'un nombre. Pour cela, on peut utiliser deux méthodes distinctes :
- 1. On calcule 15% de 60g puis on l'ajoute au poids initial :
15% de 60 : (15*60)/100 = 9g. Le paquet de céréales avec 15% offert pèse donc désormais : 60 + 9 = 69g.
- On multiplie le nombre initial par 1,x% avec x le pourcentage à ajouter.
60 + 15% : 60*1.15 = 69g. 2. Comme pour l'addition de pourcentage, on peut utiliser deux méthodes distinctes pour la soustraction de pourcentage :
- 1. On calcule 30% de 70€ puis on le soustrait au montant initial :
30% de 70 : (30*70)/100 = 21€ Le pull avec 30% de réduction vaut désormais : 70-21 = 49€
- 2. On multiplie le nombre initial par 1-(x/100) avec x le pourcentage associé.
70*(1-(30/100)) = 70*(1-0.3) = 70*0.7 = 49€. Exercice 4 : Calcul de pourcentage 1. Le nombre de filles dans la classe et le nombre de garçons dans la classe sont des sous-ensembles du nombre d'élèves. On peut donc représenter le nombre de filles sous la forme d'une fraction par rapport au nombre d'élèves. Il y a 18 filles sur 32 élèves soit : $\frac{18}{32} = \frac{9}{16} = 0.5625. Pour obtenir le pourcentage de filles, il reste juste à multiplier le résultat de cette fraction par 100. Il y a donc 0.5625*100 = 56.25% de filles dans la classe. 2. Le nombre de ballons de basket dégonflé est un sous-ensemble du nombre de ballons. Pour trouver le nombre de ballons dégonflés, on effectue simplement : 40*(35/100) = 14. Il y a donc 14 ballons dégonflés sur l'ensemble des ballons.
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[color=red]réciproque:
si dans un repère, les points placés sont alignés et la droite formée passe par l’origine alors on a une situation de proportinnalité.[/color]