Chapitres
Introduction
Les calculs en mathématiques mêlent souvent nombres et lettres. C'est ce qu'on appelle du calcul littéral. Apprenons à travailler avec des lettres et à déterminer les nombres inconnus qu'elles cachent.
Définition
Une expression littérale est une expression contenant des nombres et une ou plusieurs lettres qui représentent des inconnues, des nombres.
Lorsque l'on a une égalité possédant des nombres et des inconnues, on l'appelle une équation. Chercher à la résoudre signifie déterminer les inconnues, trouver les nombres qu'elles représentent.
Les expressions littérales nous permettent d'écrire des formules mathématiques, comme par exemple l'aire d'un rectangle de longueur noté L est de largeur noté l qui est l x L. On retrouve aussi le calcul littéral en physique où l'on note v la vitesse ou encore m la masse, etc...
Les expressions littérales permettent aussi de traduire des problèmes et des algorithmes sous forme d'équations ou de fonctions. En général, en mathématiques, on note "x" l'inconnue. Au collège, nous étudierons uniquement les équations à une seule inconnue.
Par exemple, regardons le programme ci dessous :
Je choisis un nombre.
Je le multiplie par 5.
Je soustrais 2.
En notant x le nombre de départ, on peut exprimer le résultat en fonction de x c'est à dire que le programme est une fonction qui a tout x renvoie [5times x-2]
Regardons un autre exemple. Un agriculteur à des canards et des vaches. Il a trois fois plus de canards que de vaches. Au total, il a 24 animaux. Déterminer le nombre de vaches.
Pour résoudre un tel problème, on le passe sous forme d'équation. On souhaite connaître le nombre de vaches : c'est donc notre inconnue, que l'on va noter "x". S'il y a x vaches, il y a [3times x] canards. Ainsi, on obtient l'équation : [x+3times x=24]
Simplifier et réduire une expression littérale
Par convention, on peut simplifier certaines expressions en supprimant le signe [times] devant une lettre ou une parenthèse.
Regardons différents exemples de simplifications sur des expressions littérales.
[7times x] peut être remplacé par [7x]
[x times 4] peut être simplifié par [4x] comme on l'a fait précédemment puisque la multiplication est commutative : [x times 4=4 times x]
On peut aussi simplifier [1 times x] On notera juste [x] En effet, [1x=x]
Enfin, [3times ( x + 7 )] peut être remplacé par [3( x + 7 )]
On commence par simplifier une expression littérale en réunissant les termes numériques entre eux et les termes ayant la même lettre entre eux.
Regardons comment réunir les termes ayant chacun des "x".
On effectue les additions :
par exemple, [2x+3x=5x]
Attention, on ne peut pas simplifier [2+x] ni [x^2+x]
De la même façon, on effectue les soustractions :
par exemple, [3x-5x=-2x]
On effectue les multiplications.
Le produit d'un nombre x par lui même peut s'écrire x² et se lit "x au carré".
Ainsi, on peut simplifier [x times x] par [x^2]
De la même façon [x times x times x=x^3] On le lit "x au cube", et ainsi de suite.
On peut le faire sur des exemples un peu plus compliqués : [2xtimes 2x=4x^2] ou encore [4xtimes 3x^2=12x^3]
Attention à ne pas confondre [2x] et [x^2]
Enfin, on effectue les divisions :
[\frac{2x}{x}=2]
[\frac{4x}{2x^2}=\frac{2}{x}]
[\frac{x^3}{3x}=\frac{x^2}{3}]
Mélangeons maintenant les nombres et les lettres :
On simplifie [3x+2-4x+1] On obtient [-x+3]
On simplifie [3times 5x+4-x] On obtient [15x+4-x=14x+4]
En général, lorsque l'on simplifie une expression littérale, on l'ordonne. C'est à dire que l'on note le terme de plus haut degré à gauche et ainsi de façon décroissante jusqu'à obtenir le terme de plus bas degré à droite.
Par exemple, [3+x^2+5x] devient [x^2+5x+3]
Lorsque l'on souhaite calculer la valeur d'une expression littérale pour un nombre donné, il suffit de remplacer notre inconnue par ce nombre et faire le calcul numérique restant.
Par exemple, si x=3 dans [5x+4-2x] alors on calcule [5times 3+4-2times 3=13]
On peut commencer par simplifier l'expression littérale pour que le calcul soit plus simple : [5x+4-2x] devient [3x+4] On remplace maintenant x par 3 : [3times 3+4=13]
Lorsque l'on a une égalité, une équation, on peut tester si un nombre donné vérifie cette équation. Cela revient à tester que deux expressions littérales sont égales. Pour cela, on remplace l'inconnue par le nombre dans chacune des expressions littérales.
Par exemple, on a [8x+5=3x-10] On souhaite savoir si x=-3 et si x=5 vérifient l'égalité.
Pour cela, on teste séparément chaque côté :
[8times(-3)+5=-19] et [3times(-3)-10=-19] Donc -3 vérifie l'égalité.
[8times 5+5=45] et [3times5-10=5] Donc 5 ne vérifie pas l'égalité.
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La distributivité
Nous avons appris à utiliser les opérations de base sur les expressions littérales, passons maintenant à des calculs un peu plus poussés avec la distributivité.
La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
C'est à dire [ktimes (a+b)=ktimes a+k times b] et [ktimes (a-b)=ktimes a-k times b]
Cela revient à dire que le produit d'une somme est égal à la somme des produits.
Regardons des exemples sur des expressions littérales.
[3x(2+x)=6x+3x^2] On a appliqué la distributivité. On dit que l'on a "développé" l'expression. Lorsqu'on le fait dans le sens contraire, on dit que l'on "factorise" l'expression. Ainsi, [3x(2+x)] est la forme factorisée et [6x+3x^2] est la forme développée de l'expression littérale.
Un autre exemple : [x(3x+x^2)=3x^2+x^3]
Passons à la double distributivité.
Elle fonctionne comme la distributivité simple que l'on appliquerait deux fois.
C'est à dire : [(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd]
On peut utiliser cette formule, comme précédemment, pour développer, c'est à dire transformer le produit en somme, ou bien pour factoriser, c'est à dire transformer la somme en un produit.
Regardons plusieurs exemples de développement :
[(2x+3)(-x+4)=-2x^2+8x-3x+12] [=-2x^2+5x+12]
[(3x-1)^2=(3x-1)(3x-1)] [=9x^2-3x-3x+1=9x^2-6x+1]
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