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Problématique

Il y a nécessité de décrire les écoulements afin d'interpréter ou prévoir les effets mécaniques de ces écoulements (écoulement dans une canalisation, écoulement autour d'un objet fixe, écoulement relatif autour d'un objet qui avance dans un fluide) : on utilise un coefficient sans dimension, le nombre de Reynolds (1883), qui permet de prévoir le comportement du fluide dans une situation donnée, quelles que soient les caractéristiques de ce fluide.

  • Que représente ce nombre de Reynolds ?
  • Que permet-il de prévoir ?

Formule du Nombre de Reynolds

Le Nombre de Reynolds (Re) est une dimension sans unité utilisée en mécanique des fluides pour caractériser le régime d'écoulement d'un fluide. Il permet de déterminer si l'écoulement est laminaire (mouvement ordonné des particules de fluide) ou turbulent (mouvement chaotique des particules de fluide).

La formule pour calculer le Nombre de Reynolds est la suivante : Re =

où :

  • est la densité du fluide (en kg/m³),
  • est la vitesse caractéristique du fluide (en m/s),
  • est une dimension caractéristique (comme le diamètre d'un tuyau, par exemple) (en m),
  • est la viscosité dynamique du fluide (en Pa·s ou N·s/m²).

On peut aussi exprimer le Nombre de Reynolds en termes de viscosité cinématique (qui est le rapport de la viscosité dynamique à la densité) : Re = L/V

Si le Nombre de Reynolds est faible (typiquement inférieur à 2000 pour un écoulement dans un tuyau), l'écoulement est généralement laminaire. Si il est élevé (typiquement supérieur à 4000), l'écoulement est généralement turbulent. Entre ces deux valeurs, l'écoulement est en transition et peut être instable.

Imaginons une expérience simple : vous avez un robinet et une tasse d'eau transparente. Vous ouvrez très doucement le robinet, et vous observez l'eau couler.

1. Écoulement lent (faible débit) : Lorsque vous ouvrez à peine le robinet, l'eau s'écoule très lentement. Si vous regardez de près, l'eau semble se déplacer de manière lisse et ordonnée, sans tourbillons. C'est un écoulement laminaire. Dans ce cas, le Nombre de Reynolds est faible.

2. Écoulement rapide (fort débit) : Si vous ouvrez le robinet à fond, l'eau jaillit rapidement. Vous remarquerez alors des tourbillons et un mouvement chaotique de l'eau. C'est un écoulement turbulent. Ici, le Nombre de Reynolds est élevé.

Le passage de l'écoulement laminaire à l'écoulement turbulent est dicté par le Nombre de Reynolds. En augmentant la vitesse de l'eau (et donc le débit), le Nombre de Reynolds augmente. Passé un certain seuil, l'écoulement devient turbulent.

C'est un peu comme lorsque vous versez du miel (qui a une haute viscosité) : il s'écoule lentement et de manière lisse. Mais si vous versez de l'eau (viscosité plus faible) d'une hauteur, elle peut former des éclaboussures et des tourbillons, surtout si elle tombe rapidement.

Comment prédire la trajectoire suivie par un fluide ?
Le nombre de Reynolds permet de calculer l'écoulement de certaines substances. On peut ainsi prévoir les trajectoires suivies par ces fluides.

Analyse

  • Un écoulement est souvent perturbé au voisinage d'obstacles, et moins perturbé loin de l'obstacle. Les forces de viscosité étant proportionnelles au gradient des vitesses des couches de fluide qui glissent les une sur les autres, elles n'interviendront qu'au voisinage de l'obstacle.
  • La force de viscosité exprime le transfert microscopique de quantité de mouvement des couches rapides vers les couches lentes, ce processus de diffusion étant décrit par une équation de diffusion. Un écoulement est également un transfert macroscopique de quantité de mouvement (transport par convection). Le nombre de Reynolds exprime la compétition entre ces deux modes de transfert (de transport).

Quelques notions

Transport de quantité de mouvement

On définit la quantité de mouvement en physique comme le produit de la masse par le vecteur vitesse. Son unité dans le Système International est le kg.m.s-1. L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le système international d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier. Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions.

Comment unifier les calculs ?
Le système MksA a été créé dans le but d'unifier les mesures à travers le monde et de faciliter les calculs. C'est aussi grâce à ce système que l'on peut se transmettre des données à travers le monde sans être obligé d'utiliser des conversions.

Transport par convection

La convection représente le transfert de chaleur qui s'effectue entre un corps et un fluide. Cet échange s'effectue toujours du plus chaud vers le plus froid. Lors de la convection, la vitesse du fluide augmente, ce qui peut avoir des effets sur les écoulements laminaires.

L'écoulement laminaire

Quand on parle d'écoulement laminaire en mécanique des fluides, on évoque le mode d'écoulement d'un fluide dans le cas où l'ensemble du fluide s'écoule plus ou moins dans la même direction et cela sans que les différences locales ne se contrarient. On est alors en opposition au régime turbulent au cours duquel l'écoulement produit des tourbillons qui vont mutuellement se contrarier.

Comment se créent les rivières ?
L'écoulement laminaire est souvent à l'origine de la création de rivières. En effet, l'eau qui s'écoule crée tout doucement un lit par érosion et plus tard l'eau suit toujours le même chemin, créant ainsi un cours d'eau.

Ainsi, lorsque l'on cherche à faire circuler un fluide dans un tuyau, on cherche à mettre en place un écoulement laminaire afin qu'il y ait moins de pertes de charge. Mais on cherche aussi à mettre en place un écoulement laminaire lorsque l'on cherche à faire voler un avion afin que le vol soit stable et prévisible à l'aide d'équations.

Lorsque l'on observe un écoulement laminaire à l'échelle microscopique, on peut observer que deux particules de fluides qui sont voisines à un instant défini resteront voisines lors des prochains moments d'observation. De par cette observation, on peut décrire un champ de vitesse grâce à l'utilisation de techniques classiques d'analyse mathématique.

Dans le cas où l'écoulement devient turbulent, celui-ci devient alors sans organisation apparente. Les techniques classiques d'analyse mathématique utilisées précédemment ne suffisent alors plus pour décrire le champ de vitesse.

Tout comme la notion de régime turbulent, la notion de régime laminaire est très fortement liée à la viscosité du fluide en mouvement. En effet, lorsque le liquide se situe dans une conduite ou autour d'un obstacle, alors, au voisinage d'une paroi sur laquelle la vitesse relative du fluide est nulle, on peut alors observer l'apparition de fortes variations de vitesse au sein desquelles la viscosité est impliquée.

De façon plus précise, on peut dire que l'écoulement visqueux est caractérisé grâce à un nombre sans dimension que l'on appelle le nombre de Reynolds. Ce nombre permet alors de mesurer l'importance relative des forces inertielles qui sont liées à la vitesse et des forces de frottement qui sont liées à la viscosité. Ainsi, si ces dernières sont prépondérantes, alors on peut dire que le frottement, qui se produit entre deux couches de fluides, maintient leur cohésion : on obtient ainsi un écoulement laminaire.

Dans le cas où le nombre de Reynolds augmente au-delà d'un certain seuil, alors l'écoulement est déstabilisé. Dans ce cas, il peut y avoir un régime turbulent qui va se mettre en place après qu'une phase de transition, plus ou moins importante, ait eu lieu.

Puisque la viscosité de l'air est beaucoup plus faible que la viscosité de l'eau, on peut alors conclure que son effet est, par la même façon, plus faible et ne se limite qu'à la zone proche de la paroi dans laquelle on peut observer que la vitesse varie forcement. On appelle alors cette zone d'effet la couche limite.

Ainsi, lorsque l'on se situe à une distance suffisante de la paroi, on peut observer que les variations deviennent suffisamment faibles pour que l'on puisse négliger la viscosité. De ce fait, on peut considérer le fluide comme étant parfait lorsqu'il se situe autour de l'obstacle auquel on ajoute la couche limite.

À cela il est possible d'ajouter que, au bord d'attaque d'une aile, puisque la vitesse relative est nulle, la viscosité reste sans effet. La couche limite laminaire finit par devenir une couche turbulente. Néanmoins, la partie de cette couche proche de la paroi constitue un film laminaire.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.