Chapitres
Introduction
La multiplication est l'une des quatre opérations élémentaires. Elle est utilisée dans tous les domaines mathématiques, c'est pourquoi il est nécessaire de savoir l'utiliser !
Définition
La multiplication correspond à une addition répétée plusieurs fois. Elle permet de simplifier les calculs. Par exemple, [3+3+3+3+3=5times3] La multiplication est commutative, donc on a 3x5=5x3. Dans notre exemple, on dira que 3 est multiplié par 5 ou encore qu'on effectue 5 fois 3. On appelle 3 le multiplicande et 5 le multiplicateur.
On dit qu'un nombre a est multiple d'un nombre b s'il est le résultat de la multiplication de b par un entier. Par exemple 35 est un multiple de 5 car 5x7=35. De même, 81 est un multiple de 9 car 9x9=81.
Souvent la multiplication est notée "x" (la croix de multiplication). Il arrive également qu'on la note par un point ou par l'absence de symbole. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs et le résultat d'une multiplication est le produit.
La multiplication a aussi pour but de mettre un problème sous forme de calculs. Par exemple, on recense 6 fermiers et chacun d'entre eux à 9 chèvres. Combien de chèvres y a t-il au total ?
On obtient : 9+9+9+9+9+9 chèvres soit [6times9] ou [9times6]
Enfin, la multiplication permet de calculer l'aire d'une figure. Par exemple, l'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur. Ou encore, l'aire d'un cercle est le produit [pitimes r^{2}] où r est le rayon du cercle.
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Les tables de multiplications
Pour réussir à faire rapidement les calculs, on apprend à l'école primaire les multiplications simples grâce aux tables de multiplications dans lesquelles on renseigne toutes les multiplications possibles entre les nombres entiers compris entre 0 et 9. Il est nécessaire de les connaitre par cœur !
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1x1=1 | 1x2=2 | 1x3=3 | 1x4=4 | 1x5=5 | 1x6=6 | 1x7=7 | 1x8=8 | 1x9=9 | 1x10=10 |
| 2 | 2x1=2 | 2x2=4 | 2x3=6 | 2x4=8 | 2x5=10 | 2x6=12 | 2x7=14 | 2x8=16 | 2x9=18 | 2x10=20 |
| 3 | 3x1=3 | 3x2=6 | 3x3=9 | 3x4=12 | 3x5=15 | 3x6=18 | 3x7=21 | 3x8=24 | 3x9=27 | 3x10=30 |
| 4 | 4x1=4 | 4x2=8 | 4x3=12 | 4x4=16 | 4x5=20 | 4x6=24 | 4x7=28 | 4x8=32 | 4x9=36 | 4x10=40 |
| 5 | 5x1=5 | 5x2=10 | 5x3=15 | 5x4=20 | 5x5=25 | 5x6=30 | 5x7=35 | 5x8=40 | 5x9=45 | 5x10=50 |
| 6 | 6x1=6 | 6x2=12 | 6x3=18 | 6x4=24 | 6x5=30 | 6x6=36 | 6x7=42 | 6x8=48 | 6x9=54 | 6x10=60 |
| 7 | 7x1=7 | 7x2=14 | 7x3=21 | 7x4=28 | 7x5=35 | 7x6=42 | 7x7=49 | 7x8=56 | 7x9=63 | 7x10=70 |
| 8 | 8x1=8 | 8x2=16 | 8x3=24 | 8x4=32 | 8x5=40 | 8x6=48 | 8x7=56 | 8x8=64 | 8x9=72 | 8x10=80 |
| 9 | 9x1=9 | 9x2=18 | 9x3=27 | 9x4=36 | 9x5=45 | 9x6=54 | 9x7=63 | 9x8=72 | 9x9=81 | 9x10=90 |
Multiplier avec les entiers
Une fois que l'on connait ses tables, on peut s’intéresser à des multiplications plus compliquées.
Regardons un premier exemple : [486times5]
Lorsque l'on multiplie un nombre à plusieurs chiffres, le plus simple est de poser l'opération.
[486]
[frac {times 5}{}]
On commence par calculer 5x6, on obtient 30, on note alors le 0 aux unités du produit et on note le 3 en retenue.
[ ^{3}]
[486]
[frac {times 5}{0}]
On continue en calculant 5x8. Cela nous donne 40. On y ajoute la retenue, et on obtient 43. On écrit le 3 dans les dizaines du résultat et on note le 4 en retenue.
[^{4}]
[486]
[frac {times 5}{30}]
Enfin, on effectue la dernière multiplication : 5x4, qui nous donne 20. En y ajoutant la retenue on a 24. On le note le 4 dans les centaines du résultat et le 2 dans les millièmes. On a finalement :
[486]
[frac {times 5}{2430}]
Lorsque l'on est à l'aise, on peut faire ce calcul sans poser la multiplication.
Prenons un deuxième exemple : [5821times4]
On calcule 4x1=4. Le produit a pour chiffre des unités 4. Il n'y a pas de retenue. Ensuite, on calcule 4x2=8, le produit a pour chiffre des dizaines le 8. Il n'y a pas de retenue. Après, on a 4x8=32. Le produit à pour chiffre des centaines le 2. On retient le 3. Finalement, 4x5=20, auquel on ajoute le 3 : 23. On a pour résultat final : [5821times4=23284]
On peut compliquer un peu l'opération en multipliant deux grands chiffres ensemble. Par exemple [2595times713]
Il suffit de réitérer plusieurs fois la méthode précédente.
On calcule [3times2595=7785] puis [1times2595=2595] puis [7times2595=18165] On pose les 3 résultats à la suite pour les additionner en décalant le deuxième résultat d'un rang et le troisième résultat de deux rangs.
Posons le calcul :
[2595]
[frac {times713}{}]
[7785]
[2595 ...]
[\frac{18165 ........}{1850235....}]
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Multiplier avec 10, 100,1000, 0.1, 0.01, 0.001 ...
La multiplication par 10,100 ou 1000 nécessite de décaler la virgule vers la droite de 1, 2 ou 3 rangs en rajoutant un ou plusieurs 0 si nécessaire. On obtient donc un nombre plus grand.
Par exemple,
[447times10=4470]
[68times100=6800]
[53times1000=53000]
[4,62times10=46,2]
[86,9times100=8690]
[71,423times1000=71423]
La multiplication par 0,1 , 0,01 ou 0,001 nécessite de décaler la virgule vers la gauche de 1,2 ou 3 rangs en ajoutant des 0 si nécessaire. On obtient donc un nombre plus petit. En effet, cela revient à diviser par 10 , 100 ou 1000.
[521times0,1=52,1]
[472,2times0,01=4,722]
[41times0,001=0,041]
Multiplier avec les décimaux
Lorsque l'on sait faire la multiplication sur les entiers, on peut s'intéresser à la multiplication sur les décimaux. On pose et on effectue la multiplication comme vu précédemment sans s'occuper des virgules. Ensuite, on compte le nombre total de chiffres placés derrière les virgules des deux facteurs. C'est le nombre de chiffres qu'il doit y avoir derrière la virgule dans le résultat final.
On veut calculer [4,86times5]
Reprenons notre exemple précédent, on a calculé [486times5=2430]
Il y a 2 chiffres derrière la virgule dans 4,86 et aucun dans 5. Ainsi [4,86times5=24,30]
Pour placer la virgule dans le résultat, on peut être amené à ajouter des zéros à gauche du résultat.
On veut calculer [5,821times0,04]
On a déjà calculé [5821times4=23284]
Ici, 58,21 a trois chiffres derrière la virgule et 0,04 en a deux. Ainsi, le résultat de la multiplication aura cinq chiffres derrière la virgule. On obtient :
[5,821times0,04=0,23284]
Enfin, calculons [259,5times7,13]
On avait [2595times713=1850235]
Ainsi, on a trois chiffres au total derrière les virgules des facteurs. Donc [259,5times7,13=1850,235]
Ordre de grandeur
Lorsque l'on effectue une multiplication, on peut remplacer les facteurs par des nombres plus simples mais très proches afin d'obtenir un ordre de grandeur du résultat, c'est à dire un résultat très proche. Cela a pour but d'avoir une idée du résultat ou de le vérifier.
Par exemple, on veut un ordre de grandeur de [51,3times29,2]
On remplace 51,3 par 50 et 29,2 par 30. Un ordre de grandeur est [50times30=1500]
La valeur exacte est [51,3times29,2=1497,96]
On a arrondi aux dizaines près.
Prenons un deuxième exemple. On veut avoir un ordre de grandeur plus précis que précédemment. On calcule [53,9times61,3]
On arrondit 53,9 à 54 et 61,3 à 61. Ici, on arrondit aux unités près.
Ainsi, on effectue [54times61=3294] Cela correspond à un ordre de grandeur.
La valeur exacte est [53,9times61,3=3304,07]
Pour aller plus loin
On peut faire des multiplications sur d'autres ensembles que les entiers et les décimaux.
Par exemple, on peut multiplier deux fractions :
[\frac{a}{b}times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}]
Par exemple, [\frac{7}{4}times\frac{5}{9}=\frac{7times5}{4times9}=\frac{35}{36}]
De la même façon, on peut multiplier des nombres négatifs :
[(-2)times5=-10]
[(-3)times(-9)=-27]
Lorsque seulement un des facteurs est négatif alors le résultat est négatif.
Si les deux facteurs sont négatifs alors le résultat est négatif.
On apprendra par la suite à multiplier des fractions, des vecteurs, des matrices, et bien d'autres choses !
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