Chapitres
Le bloc 1. « Champ magnétique » vise à faire le lien avec le programme de la classe de première S et à permettre à l’étudiant de disposer des outils minimaux nécessaires ; l’accent est mis sur le concept de champ vectoriel, sur l’exploitation des représentations graphiques et sur la connaissance d’ordres de grandeur. Une étude plus approfondie de la magnétostatique sera conduite en seconde année.
Champ magnétique
- Sources de champ magnétique ; cartes de champ magnétique.
- Exploiter une représentation graphique d’un champ vectoriel, identifier les zones de champ uniforme, de champ faible, et l’emplacement des sources.
- Connaître l’allure des cartes de champs magnétiques pour un aimant droit, une spire circulaire et une bobine longue.
- Décrire un dispositif permettant de réaliser un champ magnétique quasi uniforme.
- Connaître des ordres de grandeur de champs magnétiques : au voisinage d’aimants, dans un appareil d’IRM, dans le cas du champ magnétique terrestre.
- Lien entre le champ magnétique et l’intensité du courant.
- Évaluer l’ordre de grandeur d’un champ magnétique à partir d’expressions fournies.
- Orienter le champ magnétique créé par une bobine « infinie » et connaître son expression.
- Moment magnétique.
- Définir le moment magnétique associé à une boucle de courant plane.
- Par analogie avec une boucle de courant, associer à un aimant un moment magnétique.
- Connaître un ordre de grandeur du moment magnétique associé à un aimant usuel.
Les champs électriques et électromagnétiques
Champ électrique
En physique, on appelle champ électrique tout champ vectoriel créé par des particules électriquement chargées. Plus exactement, lorsque nous sommes en présence d'une particule chargée, les propriétés locale de l'espace défini sont alors modifié ce qui permet de définir la notion de champ. En effet, si une autre charge se trouve être dans le dit champ, elle subira ce qu'on appelle l'action de la force électrique qui est exercée par la particule malgré la distance. On dit alors du champ électrique qu'il est le médiateur de la dite action à distance.
Si on se veut plus précis, on peut définir dans un référentiel galiléen défini, une charge q définie de vecteur vitesse v qui subit de la part des autres charges présentes, qu'elles soient fixes ou mobiles, une force qu'on définira de force de Lorentz. Cette force se décompose ainsi :
[ overrightarrow { f } = q left ( overrightarrow { E } + overrightarrow { v } wedge overrightarrow { B } right) ]
avec :
- [ overrightarrow { E } ] le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge
- [ overrightarrow { B } ] le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.
De plus, il est important de noter que les deux champs, électrique et magnétique, dépendent du référentiel d'étude.
Avec cette formule, on peut alors définir le champ électrique comme étant le champ traduisant l'action à distance subie par une charge électrique fixe dans un référentiel défini de la part de toutes les autres charges, qu'elles soient mobiles ou fixes.
Mais on peut également définir le champ électrique comme étant toute région de l'espace dans laquelle une charge est soumise à une force dite de Coulomb.
On commence à parler de champ électrostatique lorsque, dans un référentiel d'étude, les charges sont fixes. Notons d'ailleurs que le champ électrostatique ne correspond pas au champ électrique comme décrit plus haut dans cet article puisqu'en effet, lorsque les charges sont en mouvement dans un référentiel, il faut ajouter à ce référentiel un champ électrique qui est induit par les déplacement des charges afin d'obtenir un champ électrique complet.
Mais, le champ électrique reste dans la réalité un caractère relatif puisqu'il ne peut exister indépendamment du champ magnétique. En effet, si on observe la description correcte d'un champ électromagnétique, celui-ci fait intervenir un tenseur quadridimensionnel de champ électromagnétique dont les composantes temporelles correspondent alors à celle d'un champ électrique. Seul ce tenseur possède un sens physique. Alors, dans le cas d'un changement de référentiel, il est tout à fait possible de transformer un champ magnétique en champ électrique et inversement.
Le champ électromagnétique
En physique, on appelle champ électromagnétique la représentation dans l'espace d'une force électromagnétique exercée par des particules chargées. Ce champ représente alors l'ensemble des composantes de la force électromagnétique qui s'appliquent à une particule chargée qui se déplace alors dans un référentiel galiléen.
On peut alors définir la force subit par une particule de charge q et de vecteur vitesse par l'expression suivante :
[ overrightarrow { f } = q left ( overrightarrow { E } + overrightarrow { v } wedge overrightarrow { B } right) ]
avec :
[ overrightarrow { E } ] le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge
[ overrightarrow { B } ] le champ magnétique. Celui-ci décrit ainsi la partie de la force exercée sur la charge qui dépend du déplacement de cette même charge dans le référentiel choisi.
En effet la séparation de la partie magnétique et de la partie électrique de dépend que du point de vue pris selon le référentiel d'étude.
De plus, il peut être intéressant de savoir que les équations de Maxwell régissent les deux composantes couplées, c'est à dire électrique et magnétique, de sorte que toute variation d'une composante induira la variation de l'autre composante.
D'ailleurs, le comportement des champs électromagnétiques se trouve décrit de façon classique par les équations de Maxwell et de manière plus générale par l'électrodynamique quantique.
La façon la plus utilisée afin de définir le champ électromagnétique est celle du tenseur électromagnétique de la relativité restreinte.
Le champ électrostatique
On parle de champ électrostatique lors que les charges qui constitue le champ sont au repos dans le référentiel d'étude. Ce champ est donc déduit de l'expression de la loi de Coulomb, aussi appelée interaction électrostatique.
Complément : Le champ gravitationnel
En physique classique, on appelle champ gravitationnel, ou encore champ de gravitation, un champ qui est réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse qui est alors susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout les autres corps pouvant être présent à proximité immédiate ou non.
On peut démontrer que le champ gravitationnel créé en un point quelconque par un corps ponctuel dérive d'un potentiel scalaire dit newtonien.
En physique classique, le champ gravitationnel ou champ de gravitation est un champ réparti dans l'espace et dû à la présence d'une masse susceptible d'exercer une influence gravitationnelle sur tout autre corps présent à proximité (immédiate ou pas). L'introduction de cette grandeur permet de s'affranchir du problème de la médiation de l'action à distance apparaissant dans l'expression de la force de gravitation universelle.
On peut interpréter le champ gravitationnel comme étant la modification de la métrique de l'espace-temps. L'approximation newtonienne est alors valable uniquement dans le cas où les corps présentent une vitesse faible par rapport à celle de la lumière dans le vide et si le potentiel gravitationnel qu'ils créent est tel que le quotient du potentiel gravitationnel sur le carré de la vitesse de la lumière dans le vide est négligeable.
On peut approcher le champ électrique et le champ gravitationnel. En effet, l'expression du champ et du potentiel ne sont différents que d'une constante. De plus, les principaux théorèmes de calculs, celui de la superposition ou de Gauss par exemple, peuvent s'appliquer dans les deux cas. Ce qui les différencie alors est le caractère attractif, donc entre deux charges de signe opposé, ou répulsif, donc entre deux charges de même signe, du champ électrique tandis que le champ gravitationnel ne peut être qu'attractif.
Lois à maîtriser pour réussir la formation
Le principe de superposition
Il est possible d'appliquer le principe de superposition à un système de type entrée-sortie si :
- La somme de deux entrées quelconque correspond à la somme des deux sorties correspondantes ;
- Un multiple d'une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante.
Dans ce cas, c'est-à-dire celui d'un système physique, on peut appeler l'entrée excitation et la sortie réponse.
On obtient alors, en notant les excitations ƒ et les réponses x (donc les mouvements généré par les forces mécaniques ƒ) :
- Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ1, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x1 ;
- Lorsque l'on sollicite le système par une entrée, donc une excitation notée ƒ2, une réponse, donc un déplacement, qui sera noté x2 .
Le théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet, en électromagnétisme, de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface qui est fermée et ce grâce à la connaissance des charges électriques que cette surface renferme.
Il s'énonce ainsi :
Le flux du champ électrique à travers une surface S fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume V délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.
Loi de Coulomb
Coulomb, un physicien français, a établi en 1758 que le champ doit varier comme le carré inverse de la distance entre les charges à une précision de 0,02 sur l'exposant avec l'aide d'un dispositif appelé balance de Coulomb. Cette balance est constituée d'un fil de torsion en argent sur lequel est fixé des matériaux chargés. Ainsi, la loi d'attraction entre deux charges ponctuelles notées q1 et q2 , fixes dans le référentiel défini et séparées par une distance r, se définit ainsi :
- La force est dirigée selon la droite reliant les deux charges ;
- Elle est attractive si les charges sont de signes opposée et répulsive sinon ;
- Son intensité est proportionnelle aux valeurs de q1 et q2 et varie en raison inverse du carré de la distance r.
Il est alors possible de traduire ces caractéristiques en une formule exprimant la force exercée par q1 sur q2 :
[ overrightarrow{ f _ { e } } = \frac { 1 } { 4 pi epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } }{ r ^ { 2 } } overrightarrow { e _ { r } } ]
avec :
- [ overrightarrow { e _ { r } } ] le vecteur unitaire de la droite reliant q1 et q2 qui est dirigée dans le sens 1 vers 2
- [ epsilon _ { 0 } ] la permittivité diélectrique du vide
Ce qui peut rendre la compréhension de cette formule compliquée est la notion de force à distance. En effet, comment une charge peut savoir qu'une autre charge ponctuelle se trouve à une certaine distance d'elle et alors exercer sur force sur cette charge en fonction de la distance qui les sépare.
Dans ce cas, tout comme pour un champ gravitationnel, il peut être utile de séparer dans la loi de force ce qui dépend de la charge subissant la force et donc d'obtenir la relation suivante :
[ \begin{cases} overrightarrow { f } = q _ { 2 } left[ \frac { 1 } { 4 pi epsilon _ { 0 } } \frac { q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } overrightarrow { e _ { r } } right] = q _ { 2 } overrightarrow { E }
overrightarrow{ E } = \frac { 1 } { 4 pi epsilon } \frac { q _ { 1 } }{ r ^ { 2 } } overrightarrow { e _ { r } } \end{cases} ]
avec :
- [ overrightarrow { E } ] un champ électrique électrostatique créé à partie de la charge q1 au point où se trouve la seconde charge q2
Ainsi, avec cette relation, il est plus aisé d'interpréter l’existence d'une force à distance. En effet, la charge considérée comme "source", c'est-à-dire q1, crée en tout point de l'espace un champ électrique dont la forme est donnée par la relation exprimée ci-dessus, et une charge quelconque considérée comme "test" subira l'effet de ce champ sous la forme d'une force égale au produit de cette charge par le champ électrostatique. Dans ce cas, ce champ électrostatique apparaîtra comme la force entre deux particules ponctuelles fixes par unité de charge.
Conservation de la charge
- Équation locale de conservation de la charge
- Démonstration pour une géométrie cartésienne unidimensionnelle
- Généralisation (admise)
- Conséquences en régime stationnaire
-
Le vecteur densité de courant est à flux conservatif donc le courant est identique en tout point d'un fil.
- On peut définir l'intensité à travers un contour.
-
Loi des nœuds
-
Cette loi se définit ainsi :
La somme des intensités des courants qui entrent par un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui sortent de ce même nœud.
Cette loi a été définie grâce à la conservation de la charge électrique tout en tenant compte du fait qu'en régime stationnaire. En effet, dans ce cas, les charges ne peuvent pas s'accumuler à un endroit quelconque du circuit. Les charges arrivant à ce nœud compensent donc celles qui quittent le nœud.
Ainsi, cette loi permet la résolution de ce qu'on appelle "équation électrique" grâce à la méthode des nœuds.
Action d'un champ magnétique sur un courant
Force de Lorentz dans un champ magnétostatique
-
sur une charge ponctuelle en mouvement
-
sur les porteurs de charge d’un volume élémentaire, force volumique de Lorentz
Pour en savoir plus sur les forces de Lorenz, il est nécessaire de se pencher sur les différents type de champ existant au sein desquels s'exerce cette force.
Propriété de symétrie
Invariance des courants
- Par translation
- Par rotation
- Symétrie cylindrique
- Mêmes résultats qu’en électrostatique et en magnétostatique !
Plans de symétrie ou d’antisymétrie des courants
-
En tout point d'un plan de symétrie des courants, le champ magnétostatique est orthogonal à ce plan.
-
En tout point d'un plan d' antisymétrie des courants, le champ électrostatique est contenu dans ce plan.
Un plan est un plan de symétrie des sources du champ si elles restent inchangées lorsqu'on effectue la la symétrie par rapport à ce plan.
Un plan est un plan d' antisymétrie des sources du champ si elles sont inversées (changement de signe pour les charges, de sens pour les courants) lorsqu'on effectue la symétrie par rapport à ce plan.
En tout point d'un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan et le champ magnétique est orthogonal à ce plan.
En tout point d'un plan d' antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan et le champ électrique est orthogonal à ce plan.
Calculer un champs électromagnétique : méthode
Méthode 1 : Théorème de superposition.
- Décomposer la distribution de courant en quelques distributions simples,
- Pour chaque distribution, calculer le champ magnétique au point M considéré en utilisant éventuellement les méthodes qui suivent,
- Additionner les champs en indiquant qu'il s'agit du théorème de superposition.
Attention :
- Les champs s'ajoutent en un même point M de l'espace,
- Il s'agit d'une somme vectorielle.
Rappel : somme vectorielle
Méthode 1 :
Utiliser la relation de Chasles en utilisant une notation intrinsèque pour les champs.
Méthode 2 :
- Déterminer la direction du champ total au point M :
- Méthode 1 : associer deux par deux des champs symétriques,
- Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants passant par M.
- Projeter les champs à additionner dans cette direction,
- Sommer ces différentes projections :
- Méthode 3 : Faire la somme des composantes dans une base orthonormée bien choisie,
- Méthode 4 : Somme graphique.
Méthode 2 : Théorème d'Ampère
- Déterminer l'allure du spectre dans tous l'espace d'étude :
- Déterminer la direction du champ en un point M quelconque de l'espace :
- Méthode 1 : associer deux par deux des champs élémentaires symétriques,
- Méthode 2 : trouver un plan de symétrie ou deux plans d'antisymétrie de la distribution de courants, passant par M.
- Déterminer les variables dont dépend la norme du champ dans l'espace, en évoquant des arguments d'invariance par translation ou rotation du problème vu par l'observateur,
- Choisir un contour d'Ampère passant par le point où on cherche le champ : Pour simplifier le calcul de la circulation, le contour doit suivre les lignes de champ ou les couper orthogonalement,
- Appliquer le théorème d'Ampère.
Méthode 3 : Calcul par intégrale
Pour avoir une méthodologie complète, je vous invite à vous diriger vers notre cours "Calcul d’Intégrales Multiples Vectorielles ou Scalaires".
Méthode 4 - Astuces
Pour une distribution de courant de type solénoïde infini, il faut admettre que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul , puis utiliser le théorème d'Ampère.
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