Chapitres
Introduction
Le bloc 1 est consacré à l’étude de phénomènes ondulatoires non dispersifs. L’équation de d’Alembert unidimensionnelle est d’abord établie en étudiant une partie infinitésimale de corde ou de câble coaxial. On se contente de vérifier que les superpositions de fonctions du type f(x-ct) et f(x+ct) sont solutions de l’équation de d’Alembert à une dimension. Dans un deuxième temps, on étudie les ondes sonores puis les ondes électromagnétiques qui se propagent dans l’espace physique de dimension trois. L’équation de propagation des ondes sonores est établie dans le cadre de l’approximation acoustique avec une approche locale. Le principe fondamental de la dynamique est appliqué en justifiant que l’accélération de la particule de fluide s’écrit a = ∂v/∂t lorsque l’amplitude des oscillations est faible devant la longueur d’onde. L’occasion se présente ainsi d’utiliser les opérateurs de dérivation dans un autre domaine que celui de l’électromagnétisme. Le choix a été fait ici de privilégier les solutions harmoniques dans la résolution de l’équation de d’Alembert, pour leur universalité comme solutions adaptées aux équations d’ondes linéaires.
Une onde correspond à une déformation ou une vibration qui se propage dans un milieu défini. Il existe trois types différents d’ondes :
- Mécanique : Les ondes magnétiques nécessitent une matière qui se déforme afin de se propager. Ce matériau a la capacité recouvrer son état initial grâce aux forces de restauration qui inversent la déformation. Une onde sonore correspond à une onde mécanique, elle possède donc de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
- L'énergie cinétique : Tout corps en mouvement en possède une. Elle peut être macroscopique : elle dépend alors de la vitesse du corps en mouvement, et donc du référentiel d'étude microscopique : elle est liée à l'agitation moléculaire. Une augmentation de l'énergie cinétique microscopique se traduit par une augmentation de la température.
- L'énergie potentielle : Elle dépend de la position relative des différentes parties du système: seul un systèmes déformable pourra posséder, à l'échelle macroscopique, de l'énergie potentielle.
- Électromagnétique : Les ondes électromagnétiques quant à elles n’ont pas besoin de support pour se déplacer : elles correspondent à des oscillation périodiques de champs électriques et magnétiques qui peuvent alors se déplacer dans le vide.
- Gravitationnelle : Les ondes gravitationnelles n’ont plus de support pour se déplacer puisque ce sont les déformations de la géométrie de l’espace-temps qui se propagent.
Notion maîtresse
Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d'Alembert
L'équation d'Alembert, également appelée équation d'onde, correspond à l'équation générale qui va décrire la propagation d'une onde. Celle-ci est alors représentée par une grandeur scalaire ou vectorielle.
Sous-notion 1 et son contenu
Propagation unidimensionnelle
- Ondes transversales sur une corde vibrante infiniment souple dans l’approximation des petits mouvements transverses.
- Équation de d'Alembert.
- Exemples de solutions de l’équation de d’Alembert unidimensionnelle.
- Ondes progressives harmoniques.
- Ondes stationnaires harmoniques.
- Conditions aux limites.
- Régime libre : modes propres d’une corde vibrante fixée à ses deux extrémités.
- Régime forcé : résonances de la corde de Melde.
- Ondes de tension et de courant dans un câble coaxial sans pertes modélisé comme un milieu continu caractérisé par une inductance linéique et une capacité linéique.
- Impédance caractéristique.
- Réflexion en amplitude sur une impédance terminale.
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Propagation des ondes
Une onde se propage dans un milieu qui le lui permet car la propagation résulte de la mise en mouvement d’une particule dans le temps mais aussi dans l’espace par rapport au milieu. Cela est possible uniquement si la source est dans un état vibratoire. On peut caractériser la propagation d’une onde par sa vitesse de propagation à l’aide la formule suivante : [ c = lambda times f ] Avec :
- c la célérité de l’onde ;
- λ la longueur d’onde ;
- f la fréquence de l’onde.
Remarque : La vitesse de la lumière est de 300 000 km.s-1 et la célérité d’une onde sonore est de 344 m.s-1
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Propagation d'une onde sonore
Lorsque l'onde se propage dans un milieu fluide compressible, il est possible d'observer une variation de pression qui va alors se propager sous la forme d'une onde. L'air nous entourant étant un milieu fluide compressible, il est alors possible de ressentir ces ondes sous la forme de son que l'on perçoit grâce aux tympans.
Cependant, pour qu'elle soit perceptible, il faut que la variation de pression, parce que son amplitude est faible par rapport à la pression atmosphérique, soit suffisamment rapide et répétée. Il est possible de considérer tout objet vibrant, tel qu'un instrument de musique ou encore un haut-parleur, comme étant une source sonore qui est donc, comme son nom l'indique, la source des vibration de l'air.
La perturbation va alors se propager, même si les particules oscillent très peu (soit quelques micromètres autour d'une position stable), d'une façon analogue aux perturbations de l'eau lorsqu'une pierre y tombe : on peut observer des vagues qui s'éloignent peu à peu du point de perturbation bien que l'eau reste au même endroit. En effet, l'eau ne se déplace que verticalement et ne suit pas les vagues (il est possible d'observer ce phénomène en plaçant un objet flottant près de la perturbation : il ne restera à la même position). On peut alors dire que, dans les fluides, l'onde sonore correspond à une onde longitudinale. Ainsi, les particules observées vibrent de façon parallèle à la direction de déplacement de l'onde.
Une onde sonore peut également être transmise par un solide vibrant. En effet, la vibration va se propager au sein du solide comme dans les fluides : il y aura de faibles oscillation autour de la position d'équilibre des atomes constituant le solide. La conséquence est alors une contrainte du matériau qui, équivalente à la pression dans un fluide, est très difficile à mesurer. C'est donc la rigidité du matériau qui permettra la transmission des ondes de contraintes transversales. Il peut être intéressant de noter que, la vitesse de propagation du son, également appelée célérité, varie selon différentes propriétés du milieu comme :
- La nature du milieu ;
- La température du milieu ;
- Et la pression du milieu.
Ainsi, dans un gaz parfait, on peut obtenir la vitesse de propagation d'une onde sonore avec la relation suivante : [ c = frac { 1 } { \sqrt { rho chi _{S} } } ] Avec :
- ρ correspondant à la masse volumique du gaz ;
- Et χS correspondant à la compressibilité isentropique du gaz.
Il est également possible d'observer une diminution de la vitesse du son lorsque :
- La densité du gaz augmente, on appelle cela l'effet d'inertie ;
- La compressibilité du gaz, c'est à dire sa capacité à changer de volume selon la pression qu'il subit, augmente.
Propagation d'une onde électromagnétique
Les ondes électromagnétiques peuvent se déplacer dans tout environnement même si ceux-ci sont vides. Les ondes téléphoniques et la lumière sont des ondes électromagnétiques.
L'onde électromagnétique, lorsqu'elle se trouve dans un milieu homogène et isotrope, va se propager en ligne droite et subir une diffraction lorsqu'elle va rencontrer un obstacle et subir la réflexion et la réfraction lorsqu'elle va changer de milieu.
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L'indice d'un milieu
Un milieu transparent est caractérisé par son indice de réfraction. L'indice de réfraction d'un milieu transparent correspond au rapport entre la célérité d'une onde se propageant dans le vide et sa célérité dans le milieu considéré. [ n = \frac { c } { v } ] Avec
- n correspondant à l'indice de réfraction du milieu transparent et qui est une grandeur sans unité ;
- c correspondant à la célérité de l'onde dans le vide. La célérité est égale à 3.108 m.s-1 ;
- Et v correspondant à la célérité de l'onde dans le milieu transparent qui s'exprime en m.s-1.
Un milieu est dit dispersif si la célérité d'une onde lumineuse monochromatique qui se propage dans ce milieu dépend de sa fréquence (donc de sa longueur d'onde dans le vide). L'indice de réfraction d'un milieu dispersif dépend donc de la fréquence de l'onde qui s'y propage.
La loi de Descartes
Cette loi lie les indices de réfraction (n1 et n2), l'angle d'incidence (i1) et l'angle de réfraction (i2). Elle s'exprime par la relation suivante : [ n _ { 1 } times sin left( i _ { 1 } right) = n _ { 2 } times sin left( i _ { 2 } right) ]
Définition : La réfraction de la lumière correspond au changement de direction du rayon lumineux lorsque celui-ci traverse une surface séparant deux milieux d'indices de réfraction différents.
En effet, la loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi qui sépare deux milieux différents. Il faut d'abord savoir que chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière. On modélise cette caractéristique par son indice de réfraction n qui s'exprime sous la forme : [ n = \frac { c } { v } ] Où v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est la vitesse de la lumière dans le vide (souvent arrondie à 3.108 m.s-1 Il est important de savoir que :
- Le rayon lumineux est dit incident avant d'avoir rencontré la surface réfractante (appelée dioptre), il est dit réfracté après avoir rencontré cette dernière.
- Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé point d'incidence.
- Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre, au point d'incidence est dit plan d'incidence.
- L'angle orienté i1 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit angle d'incidence.
- L'angle orienté i2 pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfracté est dit angle de réfraction.
- Les angles i1 et i2 sont positifs s’ils sont orientés dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre), négatifs sinon.
On prend n1 l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et n2 celui du milieu dans lequel se propage le rayon réfracté. Pour pouvoir énoncer la loi de la réfraction, il faut que le rayon réfracté, le rayon incident et la normale (au dioptre) soient dans un même plan qui est appelé le plan d'incidence et que le rayon incident et le rayon réfracté soient situés de part et d'autre de la normale. Lorsque n1 > n2 (et respectivement n1 < n2) le rayon réfracté (et respectivement : incident) se rapproche plus rapidement du dioptre que le rayon incident (ou réfracté). Cependant, il existe un cas particulier où le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre (sa limite) : il y a alors réflexion totale.
Mise en situation : la réfraction atmosphérique
La réfraction atmosphérique correspond à la déviation des faisceaux lumineux par des superposition de couchers d'air ayant des températures différentes. On se trouve alors dans le cas d'une propagation anormale de la lumière au sein d'une atmosphère dans laquelle la température, la pression ainsi que l'humidité restent constante verticalement selon la normale. Ainsi, la déviation des rayons lumineux peuvent donner l'impression que l'objet observé se situe autre que sa localisation réelle. De ce fait, il serait incorrect de définir un mirage comme une illusion d'optique ou encore comme une hallucination : il est possible de photographier un mirage ! En effet, il s'agit plutôt d'une déformation mentale d'une image provoquée par une interprétation fausse du cerveau.
Capacités exigibles
- Établir l’équation d’onde en utilisant des systèmes infinitésimaux.
- Définir une onde longitudinale et une onde transversale. Identifier une équation de d’Alembert.
- Exprimer la célérité en fonction des paramètres du milieu.
- Définir une onde progressive et une onde stationnaire.
- Établir la relation de dispersion à partir de l’équation de d’Alembert.
- Utiliser la notation complexe.
- Définir le vecteur d’onde, la vitesse de phase.
- Retrouver la distance égale à λ/2 entre deux nœuds consécutifs ou entre deux ventres consécutifs.
- Décomposer une onde stationnaire en ondes progressives, une onde progressive en ondes stationnaires.
- Justifier et exploiter des conditions aux limites.
- Définir et décrire les modes propres.
- Construire une solution quelconque par superposition de modes propres.
- Associer mode propre et résonance en régime forcé. Décrire le modèle.
- Établir les équations de propagation.
- Établir l’expression de l’impédance caractéristique d’un câble coaxial.
- Étudier la réflexion en amplitude de tension pour une impédance terminale nulle, infinie ou résistive.
Sous-notion 2 et son contenu
Ondes sonores dans les fluides
- Approximation acoustique.
- Équation de d’Alembert pour la surpression.
- Célérité.
- Densité volumique d’énergie sonore, vecteur densité de courant énergétique.
- Intensité acoustique, niveau sonore.
- Ondes planes progressives harmoniques.
- Impédance acoustique définie comme le rapport de la surpression sur le débit volumique ou comme le rapport de la surpression sur la vitesse.
- Onde sonore sphérique.
- Effet Doppler.
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Le décibel
Le décibel, en acoustique environnementale, permet d'indiquer le niveau de bruit. En effet, cette grandeur permet d'exprimer le rapport de puissance existant enter la pression acoustique et une valeur de référence qui a été choisie comme correspondant à un son imperceptible. D'une façon générale, le niveau sonore en champ libre, ce qui signifie sans obstacle sur le trajet de l'onde, est inversement proportionnel au carré de la distance, c'est-à-dire à la distance multipliée par elle-même.
La pression acoustique
La pression acoustique correspond à une grandeur physique qui stimule l'audition humaine. La plage de pression qui donne un niveau sonore perceptible par l'Homme est comprise entre un rapport de un et plusieurs millions. Attention cependant, la percepteur du volume sonore est, de façon approximative, logarithmique. Cela signifie alors qu'une augmentation définie du volume correspondra à multiplier la pression par un facteur qui est identique. C'est pourquoi on ne convertit que très rarement la mesure du bruit, qui est de façon générale, correspondant à la pression acoustique en décibel.
L'intensité acoustique
Afin de déterminer les chemins de propagation des sons dans un environnement, les études acoustiques utilisent fréquemment l'intensité acoustique. Cette grandeur correspond à la représentation de la puissance acoustique qui est transmise dans une direction définie. S'établissant généralement à partir d'un gradient de pression, on utilise logiquement un réseau de capteurs ou encore en ensemble de capteurs de vitesse acoustiques que l'on couple à un capteur de pression. Attention toutefois aux confusions. En effet, parler d'une intensité acoustique n'induit pas toujours que l'on parle d'un niveau sonore. Il suffit pour démontrer cela de prendre l'exemple d'une onde stationnaire : son intensité est nulle alors que la pression acoustique ne l'est pas et l'on entend pourtant un son.
Une onde dite stationnaire correspond à la propagation simultanée et dans des sens opposés de plusieurs ondes de même fréquence et de même amplitude dans un même milieu. Ainsi, on observera une figure dont certains points sont fixes, appelés nœuds de pression, dans le temps. Il est alors possible d’observer une vibration stationnaire et d’intensité différente en chaque point observé au lieu de pouvoir observer une onde qui se propage.
La puissance acoustique
Afin de comparer deux sources de bruit, il est nécessaire d'utiliser la puissance acoustique qui s'exprime en dB SWL. Il est possible d'obtenir la valeur de cette grandeur en plaçant la source que l'on souhaite tester dans une chambre réverbérante afin que les sons soient mélangés dans toutes les directions. Mais il est également possible d'obtenir cette valeur en effectuant une série de mesures tout autour de la source sonore à tester.
Capacités exigibles
- Classer les ondes sonores par domaines fréquentiels.
- Justifier les hypothèses de l’approximation acoustique par des ordres de grandeur.
- En comparant l’amplitude du déplacement à la longueur d’onde, montrer que l’accélération de la particule de fluide s’écrit ∂v/∂t lorsque v << c.
- Écrire les trois équations locales linéarisées.
- Déterminer l’équation de propagation de la surpression dans une situation unidirectionnelle en coordonnées cartésiennes.
- Utiliser sa généralisation admise à trois dimensions avec l’opérateur laplacien.
- Exprimer la célérité en fonction de la température pour un gaz parfait.
- Citer les ordres de grandeur de la célérité pour l’air et pour l’eau.
- Utiliser les expressions admises du vecteur densité de courant énergétique et de la densité volumique d’énergie associés à la propagation de l’onde.
- Définir l’intensité acoustique en W.m-2 et le niveau sonore en décibels.
- Citer quelques ordres de grandeur (minimum d’audition, seuil de douleur, conversation).
- En relation avec la diffraction, discuter la validité du modèle de l’onde plane en comparant la dimension latérale à la longueur d’onde.
- Décrire le caractère longitudinal de l'onde sonore.
- Établir et utiliser l’impédance acoustique.
- Utiliser le principe de superposition des ondes planes progressives harmoniques.
- Commenter l'expression de la surpression p(r,t) ∝ 1/r .cos(ω(t − r/c)) générée par une sphère pulsante.
- Mettre en œuvre une détection hétérodyne pour mesurer une vitesse par décalage Doppler.
Sous-notion 3 et son contenu
Bilan de Poynting de l'énergie électro- magnétique dans un milieu quelconque
- Densité volumique d’énergie électromagnétique et vecteur de Poynting.
- Équation locale de Poynting.
Capacités exigibles
- Identifier les différents termes de l’équation locale de Poynting.
- Interpréter le vecteur de Poynting comme le vecteur densité de flux de puissance électromagnétique.
Sous-notion 4 et son contenu
Ondes électromagnétiques dans le vide
- Propagation de E et B dans une région sans charge ni courant.
- Structure d’une onde plane progressive harmonique.
- Polarisation rectiligne.
Capacités exigibles
- Citer les domaines du spectre des ondes électromagnétiques et leur associer des applications.
- Établir les équations de propagation.
- Utiliser la notation complexe.
- Représenter le trièdre ( u , E , B ).
- Établir la relation entre les amplitudes des champs. Associer la direction du vecteur de Poynting et la direction de propagation de l’onde.
- Associer le flux du vecteur de Poynting à un flux de photons en utilisant la relation d’Einstein-Planck.
- Citer quelques ordres de grandeur de flux énergétiques surfaciques moyens (laser hélium- néon, flux solaire, téléphonie...) et les relier aux ordres de grandeur des champs électriques associés.
- Utiliser le principe de superposition d’ondes planes progressives harmoniques.
- Identifier l'expression d'une onde électro-magnétique plane progressive polarisée rectilignement.
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