Chapitres
- 01. I. GRADIENT
- 02. II. DIVERGENCE
- 03. III. ROTATIONNEL
- 04. IV. LAPLACIEN
- 05. V. PROPRIÉTÉS
I. GRADIENT
1. Définition
2. Propriétés
- Le gradient de f est perpendiculaire aux surfaces "équi f".
- Le gradient de f est dirigé vers les f croissants.
3. Circulation d'un gradient
- La circulation d'un gradient est indépendante du chemin suivi.
- On dit que le gradient est à circulation conservative.
4. Composantes du gradient dans différents systèmes de coordonnées
- Composantes en coordonnées cartésiennes.
- Utilisation de l'opérateur nabla.
- Composantes en coordonnées cylindriques.
- Composantes en coordonnées sphériques.
II. DIVERGENCE
1. Définition
2. Théorème d'Ostrogradsky
3. Champ à flux conservatif
- Un champ dont la divergence est identiquement nulle est à flux conservatif : Le flux entrant dans un tube de champ est égal au flux sortant du tube.
4. Expression de divergence dans différents systèmes de coordonnées
- Expression en coordonnées cartésiennes.
- Expression en coordonnées cylindriques.
III. ROTATIONNEL
1. Définition
2. Théorème de Stokes
3. Champ à circulation conservative
- Un champ dont le rotationnel est identiquement nul est à circulation conservative.
4. Composantes du rotationnel en coordonnées cartésiennes
- Composantes en coordonnées cartésiennes.
IV. LAPLACIEN
1. Laplacien scalaire
a. Définition.
b. Expression en coordonnées cartésiennes.
2. Laplacien vectoriel
a. Définition.
b. Composantes en coordonnées cartésiennes.
V. PROPRIÉTÉS
- La divergence d'un rotationnel est nulle.
- Le rotationnel d'un gradient est nul.
- Les propriétés suivantes sont équivalentes : Un champ est à circulation conservative <=> Il s'écrit sous forme d'un gradient <=> son rotationnel est nul.
- Les propriétés suivantes sont équivalentes : Un champ est à flux conservatif <=> Il s'écrit sous forme d'un rotationnel <=> sa divergence est nulle
- Propriétés sur les produits, produits scalaires, produits vectoriels.
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