Chapitres
L'opérateur laplacien est un opérateur différentiel de la dérivation partielle en mathématiques. Il est utilisé pour quantifier la variation et la courbure d'une fonction scalaire dans l'espace en mesurant la divergence du gradient de cette fonction.
En d'autres termes, il permet d'analyser comment une quantité (comme une température, une densité, ou un potentiel) varie en fonction de la position dans un espace tridimensionnel.
Il est couramment utilisé en physique, en particulier en électrodynamique, en mécanique des fluides et dans le domaine de l'équation de la chaleur pour étudier les phénomènes de diffusion et de répartition de la chaleur. On le symbolise par Δ (prononcé "delta carré") ou ∇².
Et voici tout ce qu'il faut savoir en détail !
| Caractéristique | Description |
|---|---|
| Symbole | Δ (delta carré) ou ∇² |
| Définition | Mesure la variation et la courbure d'une fonction scalaire dans l'espace tridimensionnel. |
| Utilisation | Modélisation de la diffusion de la chaleur, analyse de l'équilibre statique, résolution d'EDP. |
| Applications | Physique, ingénierie, traitement d'images, mécanique des fluides, analyse mathématique, etc. |
| Solutions | Incluent des fonctions harmoniques, sinusoïdales, exponentielles en fonction des conditions. |
Le laplacien scalaire ?
L'opérateur laplacien est donc un opérateur différentiel qui associe à un champ scalaire la divergence de son gradient. Ainsi, cet opérateur renvoie un autre champ scalaire.
Pour rappel, on le note : 
où phi est un champ scalaire.
On a 
On peut également définir le laplacien comme l'opérateur nabla appliqué deux fois au champ.
@bossetesmaths Voici un exercice niveau Première sur le produit scalaire : comment calculer le produit scalaire de 2 vecteurs u et v connaissant leurs coordonnées (x;y) et (x’;y’) dans un repère orthonormé ? Voici la formule à appliquer : si u(x;y) et v(x’;y’), alors u.v = xx’ + yy’. Dis-moi si tu as compris ce calcul dans les commentaires et abonne-toi pour plus de contenu mathématique ✅ #math #maths #mathematiques #mathematics #mathtricks #prof #lycee #college #mathhacks #calcul #operations #spemaths #seconde #premiere #terminales #bac #baccalaureat #tiktokacadémie #produitscalaire #formule #repereorthonorme ♬ Pumpkins - Chris Alan Lee
? Caractéristiques
Le laplacien d’une fonction mesure la différence entre la valeur de la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. C'est un opérateur de moyennage.
De cette façon, le laplacien est nul lorsque la moyenne autour d'un point vaut la valeur en ce point. Dans ce cas, on dit que la fonction est harmonique.
Le laplacien est un opérateur qui est linéaire et qui vérifie la règle de Leibniz pour un opérateur différentiel d'ordre deux.
La règle de Leibniz permet de dériver le produit de deux fonctions en utilisant la formule : (fg)' = f'g + fg'. Elle est essentielle en calcul différentiel pour simplifier le calcul des dérivées de fonctions composées.
? Expression en coordonnées cartésiennes
On peut définir le laplacien en coordonnées cartésiennes. Soit f un fonction C² sur un ouvert de 
on définit le laplacien par 
Avec une dimension, le laplacien d’un champ scalaire f(x) en un point est égal à la dérivée seconde du champ scalaire f(x) par rapport à la variable x en ce point. De cette façon, le laplacien indique la concavité.
➡️ La plupart du temps, on se placera dans les cas bidimensionnel ou tridimensionnel.
En physique, seules les expressions en cartésiennes sont exigibles, un formulaire sera fourni pour les autres systèmes de coordonnées.
Regardons malgré tout ce que cela nous donne.
1️⃣ Le cas bidimensionnel
Soit f(x,y) le champ. On a pour coordonnées cartésiennes de paramètre (x, y, z) 
Pour les coordonnées polaires de paramètres, on a 
2️⃣ Le cas tridimensionnel
Soit f(x,y,z) le champ. Les coordonnées cartésiennes de paramètres (x, y, z) nous donne 
? Coordonnées cylindriques
Avec les coordonnées cylindriques ayant pour paramètres (x=r cosθ, y=r sinθ, z), on obtient 
? Coordonnées sphériques
Enfin, pour les coordonnées sphériques de paramètres (x=r sinθ cosΦ, sinθ sinΦ, r cosθ), cela nous donne 
Le laplacien vectoriel ?
Le laplacien vectoriel est un opérateur différentiel qui s'applique à un champ vectoriel et qui renvoie un champ vectoriel.
Soit 
un champ vectoriel. On note son laplacien 
? Définition
Il est définit par la relation 
Dans un espace euclidien, on définit le plus souvent le laplacien vectoriel en utilisant des coordonnées cartésiennes.
Cela donne 
dans
Dans un espace à 3 dimensions ㆔
Dans un espace à trois dimensions, on a 
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Et pour être bien sûr, voici un récapitulatif des différences existantes entre un laplacien scalaire et un laplacien vectoriel :
| Caractéristique | Laplacien Scalaire (Δf) | Laplacien Vectoriel (Δ𝐕) |
|---|---|---|
| Type de Fonction | Fonction Scalaire | Champ Vectoriel |
| Sortie | Valeur Scalaire | Vecteur |
| Signification | Mesure la variation spatiale et la courbure d'une grandeur scalaire. | Mesure la divergence du gradient d'un champ vectoriel, indiquant comment le champ se comporte en termes de flux. |
| Exemple d'Applications | Diffusion de la chaleur, équilibre statique, potentiels (électrique, gravitationnel), équation de Laplace. | Mécanique des fluides, électromagnétisme, dynamique des fluides, équation de continuité. |
Opérateur laplacien : applications en physique ?
? Équation de Laplace
L'équation de Laplace consiste à résoudre 
où V est un potentiel.
L'ensemble des fonctions vérifiant l'équation de Laplace sont dites harmoniques.
On retrouve cette équation notamment en thermodynamique, en électrostatique ou encore en mécanique des fluides.
Exemple : l'électrostatique ⚡️
En se plaçant dans un espace de densité volumique de charge nulle, l'équation de Maxwell-Gauss devient 
En remplaçant 
par son expression en fonction du potentiel électrique V, on obtient finalement 
qui correspond bien à l'équation de Laplace.
Si la densité de charge n'est pas nulle, nous n'obtenons pas l'équation de Laplace mais celle de Poisson, également définie grâce au laplacien : 
L'équation de Poisson est une équation aux dérivées partielles qui décrit comment la distribution de charge (ou de masse) dans un espace donné influence le potentiel électrostatique (ou gravitationnel) à chaque point de cet espace. Elle est largement utilisée en physique pour résoudre des problèmes liés à la distribution des potentiels en présence de sources de charges ou de masses. L'équation de Poisson est généralement formulée comme Δφ = -ρ, où Δφ est le laplacien du potentiel et ρ est la densité de charge (ou de masse).
? Équation de conservation
On retrouve le laplacien dans des équations de conservation. Il y apparaît comme la divergence d’un flux. En effet, le flux est proportionnel au gradient d’une variable.
C’est le cas par exemple dans l’équation de la chaleur :
où T est la température, λ est la conductivité thermique, cv est la capacité thermique massique à volume constant, ρ est la masse volumique, p est la puissance volumique dégagée.
? Équation d'onde
L'équation d'onde modélise la propagation d'une onde.
Dans un milieu sans charge ni courant, où 
est un champ vectoriel, on a l'équation 
où c est la célérité et t le temps.
Si E est un champ vectoriel, en s'intéressant à chacune des composantes de , on obtient une équation sur un scalaire, appelé équation de d'Alembert : 
? Équations de Navier-Stokes
En mécanique des fluides, on retrouve le laplacien dans différents cas. En effet, en étudiant les fluides newtoniens incompressibles, on utilise le laplacien.
Gustave-Gaspard Coriolis (1792-1843) était un mathématicien et ingénieur français, principalement connu pour sa découverte de l'effet de Coriolis, qui explique le mouvement des objets dans un système en rotation, comme la Terre. Ses travaux ont également influencé le développement des équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides, qui décrivent le comportement des fluides dans de nombreuses applications.
Lorsque l'écoulement est irrotationnel, il existe une fonction Φ appelé le potentiel des vitesses telle que 
De cette façon, 
Pour un écoulement quelconque que l'on cherche à étudier, on utilise l'équation de Navier-Stokes qui utilise cette fois ci le laplacien des vitesses.
En conclusion, l'opérateur laplacien, qu'il soit appliqué à des fonctions scalaires ou à des champs vectoriels, demeure un outil mathématique essentiel pour analyser et comprendre la variation spatiale et la courbure des grandeurs physiques.
C'est aussi la raison pour laquelle il joue un rôle fondamental dans de nombreuses branches de la science et de l'ingénierie. À présent, c'est à vous de jouer !
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