Chapitres
Chapitre 3 : Dérivation
1]Définitions :
Définition 1 :
Soit f une fonction définie en a.
F est dérivable en a si et seulement si (f(x)-f(a)) / (x-a) a une limite finie quand x tend vers a
Cette limite est alors appelée le nombre dérivé de f en a, et elle se note f’(a)
Définition 2 :
Soit f une fonction définie en a.
F est dérivable en a si et seulement (f(a+h)-f(a)) / h a une limite finie quand h tend vers 0.
[Exemple]
2)Tangente.
Définition :Soit f une fonction définie et dérivable en a.
La tangente à la courbe de f au point d’abscisse en a est la droite de coefficient directeur f’(a).
Equation de la tangente :
Y= f’(a) * (x-a) + f(a)
3)Approximation affine.
Théorème (admis) :
Soit f une fonction définie en a.
La meilleure approximation affine de f(x), lorsque x est proche de a, est la fonction :
x|~> f’(a)*(x-a)+f(a)
4)Application.
Théorème de variation (admis) :
Soit f définie, dérivable sur un intervalle I.
-Si f’ est strictement positif, ou nulle en un nombre fini de valeurs, sur I
Alors f est strictement croissante sur I.
-Si f’ est strictement négative sur I, ou nulle en un nombre fini de valeurs,
Alors f est strictement décroissante sur I.
-Si f’ est nulle sur I
Alors f est constante sur I.
Théorème extremum (admis) :
-Soit I un intervalle ouvert contenant le réel a.
Si f possède un extremum en a
Alors f’(a) = 0
-Soit I un intervalle contenant le réel a.
Si f’ s’annule et change de signe en a
Alors f possède un extremum en a.
[Exemple]
| Remarque sur la 1ère implication : Intervalle I ouvert : Si I n’est pas ouvert alors a peut être une borne de l’intervalle I ! |
2]Dérivation des fonction composées :
Théorème (admis).
F = g o u (g rond u)
Si u est définie et dérivable sur Du et g est définie et dérivable sur Dg
Alors f est dérivable sur Du et f’(x) = u’(x) * g’(u(x))
Théorème.
-SI u est définie, dérivable, strictement positive sur I,
Alors √u est dérivable sur I et (√u)’ = u’ / (2√u)
-Si u définie et dérivable sur I, et n un entier naturel, n >=2
Alors un est dérivable sur I et (un)’ = n*u’*un-1 .
-Si u définie, dérivable, non nulle sur I et n une entier relatif, n <= -2
Alors un dérivable sur I et (un)’ = n*u’*un-1
Soient a,b deux réels, a différent de 0.
X|~> cos(ax+b) est dérivable sur R et (cos(ax+b))’ = -asin(ax+b)
x|~> sin(ax+b) est dérivable sur R et (sin(ax+b))’ = acos(ax+b)
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