Chapitres
- 01. Introduction
- 02. Théorème
- 03. Démonstration
- 04. Raisonnement par l’absurde
- 05. Synthèse
Introduction
On admet qu’il existe une unique fonction définie dérivable sur R, tel que :
-Pour tout x appartenant à R, f’(x)=f(x)
-f(o)=1
Théorème
1)Pour tout x appartenant à R, f(x)*f(-x)=1
2) Pour tout x appartenant à R, f(x) différent de 0
3) Pour tout x appartenant à R, f(x)>0.
Démonstration
1)Pour démontrer que tout x sur R, f(x)*f(-x)=1,
On introduit la fonction g définie sur R par g(x)=f(x)*f(-x) et on démontre que g est une fonction constante.
f est dérivable sur R et la fonction qui associe a x f(-x) et dérivable sur R comme composée de deux fonctions dérivable sur R : x|-> -x
X|->(X)
Donc, par produit, g est dérivable sur R et g’(x) = f’(x)*f(-x)+f(x)*(-1)*f’(x)
= f(x)*f(-x)-f(x)*f(-x) (d’après f(x) = f’(x))
g’(x)=0
Donc la fonction g est une fonction constante sur R.
Or g(o) = f(0)*f(0)=1
Donc pour tout x appartenant à R, g(x)=1
Raisonnement par l’absurde
Pour démontrer que pour tout x appartenant a R, f(x) différent de 0,
On suppose qu’il existe un réel a tel que f(a)=0
Alors, f(a)*f(-a)=0 -> Contredit le 1.
Donc pour tout x appartenant a R, f(x) différent de 0.
Raisonnement par l’absurde
On suppose qu’il existe un réel a tel que f(a)<0
Or f est dérivable sur R donc continue sur R.
f(a)<0
f(0)=0
donc, par le théorème des valeurs intermédiaires,
il existe un réel c compris entre 0 et a, tel que f(c)=0
àContredit le 2.
Donc, pour tout x appartenant à R, f(x) > 0
| Remarque : Sachant que :Pour tout x appartenant à R, f(x)différent de 0, Alors le 1 peut s’écrire : Pour tout x appartenant à R, f(-x) = 1/f(x) Cette fonction est la fonction exponentielle. Elle est notée exp. |
Synthèse
Pour tout x appartenant à R, exp’(x)=exp(x)
Exp(0)=1
Pour tout x appartenant à R, exp(-x)=1/(exp(x)
Pour tout x appartenant à R, exp(x)>0.
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