Chapitres
- 01. Introduction
- 02. Théorème
- 03. Démonstration
- 04. Propriétés de Calculs
- 05. Les propriétés de calculs
Introduction
On admet qu'il existe une unique fonction f définie, dérivable sur IR telle que:
Pour tout x appartenant à IR
f(0)=1
Théorème
1)Pour tout x appartenant à IR, f(x)*f(-x)
2)Pour tout x appartenant à IR, f(x) différent de 0
3)Pour tout x appartenant à IR, f(x)>0
Démonstration
On introduit g définie sur IR par g(x)=f(x)*f(-x)
x→f(x) dérivable sur IR
x→f(-x) composée de x→-x
X→f(X)
donc dérivable
donc g est dérivable sur IR comme produit de 2 fonctions qui le sont, et :
g'(x)=f'(x)*f(-x)+f(x)*-1f'(x)
| On dérive en premier x après f(x) |
donc g'(x)=f(x)*f(-x)-f(x)*f(-x)
donc g'(x)=0
donc g est une fonction constant sur IR
Or calculons g(0)=f(0)*f(0)=1
donc quelque soit x appartenant à IR, g(x)=1
Raisonnement par l'absurde
On veut démontrer que :
Pour tout x appartenant à IR, f(x) différent de 0
On suppose qu'il existe un réel a telle que f(a)=0
alors f(a)*f(-a)=0 contredit le a)
Donc : Pour tout x appartenant à IR, f(x) différent de 0,
Raisonnement par l'absurde
On veut démontrer que : Pour tout x appartenant à IR, f(x)>0
On suppose qu'il existe un réel telle que f(a)<0
donc f est dérivable sur IR, donc f est continue sur IR
et f(0)=1
et f(a)<0
donc par le théorème des valeurs intermédiaires,
Il existe un réel c comprit entre 0 et a telle que f(x)=0
contredit le b),
Donc pour tout x appartenant à IR, f(x)>0
Remarque : Sachant que f(x) différent de 0 le a) devient : f(-x)=1/f(x)
Synthèse : Pour tout x appartenant à IR, exp'(x)=exp(x)
exp(0)=1
Pour tout x appartenant à IR, exp(-x)=1/(exp(x))
Pour tout x appartenant à IR, exp(x)>0
Propriétés de Calculs
Théorème
Soit b un réel
Pour tout x appartenant à IR, exp(x+b)=exp(x)*exp(b)
Démonstration
Pour tout x appartenant à IR, (exp(x+b))/(exp(x)=exp(b)
Soit g définie dérivable sur IR
Par g(x)=(exp(x+b))/(exp(x))
u:x→exp(x+b) composée: x→x+b
X→exp(X)
u dérivable sur IR pas composition
V:x→exp(x), dérivable sur IR, non nul donc g dérivable sur IR, par quotient,
et g'(x)(1*exp(x+b)*exp(x)-exp(x+b)*exp(x))/(exp(x))²=0
Donc g constante
Or g(0)=(exp(b))/(exp(o))
=(exp(b))/1
=exp(b)
donc Pour tout x appartenant à IR, g(x)=exp(b)
Théorème
Soit b appartenant à IR
Pour tout x appartenant à IR, exp(x-b)=(exp(x))/(exp(b))
Démonstration
exp(x-b)=exp(x+(-b))
=exp(x)*exp(-b) d'après le théorème précédent
=exp(x)*(1/(exp(b)) après exp(-x)=1/(exp(x))
Les propriétés de calculs
Théorème en cours de maths :
Pour tout x appartenant à IR, Pour tout n appartenant à Z (l'ensemble)
exp(nx)=(exp(x))n
Démonstration
a) n appartenant à IN
Raisonnement par récurrence,
b) n appartenant à Z (l'ensemble),n n'appartenant pas à IN
On pose n=-p t onc p appartenant à IN* (exclu 0)
1ier cas
n appartenant à IN,
On utilise la récurrence
-Initialisation à n=0
(esp(x))'=1 (exp(x) différent de 0)
exp(0x)= exp(0)=1
donc l'égalité est vrais pou n=0
-Hérédité
On suppose que pou UN entier naturel n>0, (exp(x))n=exp(nx),
on démontre qu'alors
(exp(x))n+1=(exp((n+1)x)
(exp(x))n+1=(exp(x)n*(exp(x))
=exp(nx)*exp(x)
=exp(nx+x)
=exp((n+1)x)
Conclusion
Pour tout n appartenant à IN, (exp(x))n=exp(nx)
2iemcas
n appartenant à Z et n n'appartenant pas à IN
Posons n=-p, alors p appartient à IN*
(exp(x))n=(exp(x))-p
=1/(exp(x)p
=1/(exp(px))
=exp(-px)
=exp(nx)
Définition
L'image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre e, (approximativement e=~2,718) exp(1)=e
On a:
Pour tout x appartenant à IR, (exp(x))n=exp(nx)
donc en particulier pou x=1
(exp 1)n=exp(n)
donc en=exp(n)
On étend la notation :
on écrira ex au lieu e exp(x)
Synthèse
(ex)'=ex
e0=1
Pour tout x appartenant à IR, ex différent de 0
ex>0
e-x=1/(ex)
ea+b=ea * eb
ea-b=(ea)/(eb)
(ex)n =enx
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