Chapitres
- 01. Exercice 1
- 02. Exercice 2
- 03. Exercice 3
- 04. Exercice 4
- 05. Exercice 5
- 06. Exercice 6
- 07. Correction de l'exercice 1
- 08. Correction de l'exercice 2
- 09. Correction de l'exercice 3
- 10. Correction de l'exercice 4
- 11. Correction de l'exercice 5
- 12. Correction de l'exercice 6
Exercice 1
Ecrire plus simplement :
a. exe2x + 1
b. ex + 2 / ex
c. (ex +e2x
+ 1)²
Exercice 2
Démontrer que la fonction
suivante est constante :
f(x) = e-2x – (e2x
+ 1) / e2x
Exercice 3
Posons f(x) = (1 – ex)
/ (ex + 1).
1. Démontrer que f(x)
= (1 – e-x) / (1 + e-x).
2. Montrer que f est
dérivable sur R.
3. Calculer sa dérivée.
Exercice 4
Résoudre dans R les
inéquations suivantes :
a. ex – 1 >
0
b. (ex + 3) / (ex
+ 1) > 2
c. ex -e2x < 0
d. e2x + 5 <
ex + 1
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Exercice 5
Calculer les limites
suivantes :
a. \lim ex² - 2x
quand x tend vers + ∞.
b. \lim ex² – 2x
quand x tend vers - ∞.
c. \lim 2 + e-x²
quand x tend vers + ∞.
d. \lim (e x -
3)/ (e x + 1) quand x tend vers - ∞.
e. \lim (ex + 1) /
e2x quand x tend vers
0.
Exercice 6
Posons f(x) = 2x + 1 – ex
/ (ex + 1).
Déterminer deux
asymptotes obliques à la courbe C de f (donner les équations).
Correction de l'exercice 1
a. exe2x + 1 =
e3x + 1
b. ex + 2 / ex =
e²
c. (ex +e-x)²
= e2x + e-2x + 2
Correction de l'exercice 2
f(x) = e-2x –
(e2x + 1) / e2x = e-2x – (e2x
+ 1) * e-2x = -1
Donc f est constante.
Correction de l'exercice 3
1. f(x) = (1 – ex)
/ (ex + 1) = [ex(1 – 1/ex)] /
[ex(1 + 1/ex)] = (1 – e-x) / (1 +
e-x)
2. f est définie sur
R, et est le quotient de fonctions dérivables sur R.
Donc f est dérivable
sur R.
3. f'(x) = (ex(ex
+ 1) - (ex – 1)ex) / (ex + 1)²
= 2 ex / (ex + 1)²
Correction de l'exercice 4
a. ex – 1 >
0 donc ex > 1
Or 1 = e0, par
conséquent, x > 0.
b. (ex + 3) / (ex
+ 1) > 2
Quelque soit x, ex
+ 1 > 0.
On peut donc avoir :
(ex + 3) >
2 (ex + 1)
ex + 3 >
2ex + 2
ex < 1
On a par conséquent,
x < 0.
c. ex -e2x < 0
ex est une
fonction croissante sur R. Ainsi l'inéqalité est vraie
pour tout x de [0 ; +∞[.
d. e2x + 5 <
ex + 1
2x + 5 < x + 1, car la
fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
On a donc : x < -4.
Correction de l'exercice 5
a. \lim ex² – 2x
tend vers +∞
quand x tend vers +∞.
b. \lim ex² – 2x
tend vers +∞
quand x tend vers - ∞.
c. \lim 2 + e-x²
tend vers 2 quand x
tend vers + ∞.
d. \lim (e x -
3)/ (e x + 1) = (1 -
3/e x)/ (1+ 1/e x)
donctend
vers -3quand x tend vers
- ∞.
e. \lim (ex + 1) /
e2x = 2quand x tend vers
0, car \lim ex = 1 quand x tend vers 0.
Correction de l'exercice 6
Quand x tend vers -∞,
on a :
lim
ex = 0, donc \lim (ex + 1) = 1 quand x tend vers
0.
Par
conséquent, ex / (ex + 1) tend vers 0
quand x tend vers -∞.
Ainsi,
.
g(x)
= 2x + 1 est donc une asymptote oblique à f en -∞.
Quand
x tend vers +∞, la limite de ex / (ex + 1)
est indéterminée.
Or ex / (ex
+ 1) = ex / (ex(1 + e-x)) = 1 / (1 +
e-x).
Par
conséquent, \lim 1 / (1 + e-x) quand x tend vers +∞
= 1.
On
a alors :
h(x)
= 2x est donc une asymptote oblique à f en +∞.
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je viens de consulter votre exercice et il me semble que dans l’exerice 1 c la correction ne correspond pas avec lénnoncé de plus dans l’exercice numéro 3 je ne voit pas comment vous trovez ce résultat dans la première question j’espère pouvoir avoir une réponse à mes questions merci d’avance