Chapitres
Introduction
On parle souvent, en mathématique, de fonctions continues. Mais qu'est ce que c'est ? De manière très simplifiée, on dit qu'une fonction continue est une fonction que l'on peut tracer sans lever le crayon. Ici, nous allons définir cette notion plus précisément.
Définition de la continuité
Pour comprendre la notion de continuité il faut au préalable avoir étudié la notion de limite.
Par définition, une fonction est continue en a si [\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)]
Ainsi, f est continue sur un ensemble I si elle est continue en tout point de cet ensemble.
Une fonction est continue à droite en a si [\lim_{x \rightarrow a+}f(x)=f(a)] et continue à gauche en a si [\lim_{x \rightarrow a-}f(x)=f(a)]
Beaucoup de fonctions que l'on connait sont continues sur leurs ensembles de définitions : les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, les fonctions sinus et cosinus, la fonction exponentielle, la fonction racine carré, la fonction valeur absolue, etc.. De même, la fonction inverse est continue sur son ensemble de définition : elle est continue sur []-\infty,0[] et sur []0,+\infty[]
La somme, le produit, le quotient et la composée de fonctions continues sont continues.
Soit f et g deux fonctions continues en a, alors f+g et f-g sont continues en a, [ftimes g] est continue en a [ktimes f] est continue en a pour tout réel k et [\frac{f}{g}] est continue en a.
Si g est continue en x0 et si f est continue en g(x0) alors la fonction composée f o g est continue en x0.
Si g continue sur I et f continue sur g(I) alors la fonction composée f o g est continue en x0.
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. Attention, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue sur R mais pas dérivable en 0.
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Exercices d'application
Appliquons notre définition de la continuité à différentes fonctions.
Regardons deux exemples distincts.
Soit f une fonction définie sur R par
[\begin{cases}f(x)=(x-1)^{2}+1& si &xleq1 f(x)=x &si &x >1\end{cases}]
La fonction [g(x)=(x-1)^{2}+1] est continue sur R, donc continue pour x<1. Ainsi, f(x) continue sur []-\infty,1[]
La fonction [h(x)=x] est continue sur R, donc continue pour x>1. Ainsi, f(x) continue sur []1,+\infty[]
Il reste à vérifier que f n'admet pas de discontinuité au point 1.
On étudie, par définition, si [\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=f(1)]
Pour cela on étudie la limite à gauche et à droite en 1.
[\lim_{x \rightarrow 1-}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1-}(x-1)²+1 = 1]
[\lim_{x \rightarrow 1+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1+}x =1]
Ainsi, les limites à gauche et à droite en 1 sont égales, donc : [\lim_{x \rightarrow 1} f(x)=1]
Alors on dit que la fonction f est continue en 1.
Donc f est continue sur R.
Regardons un deuxième exemple.
La fonction partie entière notée [f(x)=llcorner x lrcorner = E(x)]
où x est un réel.
On admet qu'il existe un unique entier naturel n tel que :
[nleq x<n+1] où n est la partie entière de x.
f(0) = 0 car 0 ≤ 0 < 1
f(1) = 1 car 1 ≤ 1 < 2
f(1,2) = 1 car 1 ≤ 1,2 < 2
f(√ 7) = 2 car 2 ≤ √7 < 3
f(-1) = -1 car -1 ≤ -1 < 0
f(-1,8) = -2 car -2 ≤ -1,8 < -1
Regardons la fonction au voisinage de 1 :
[\lim_{x \rightarrow 1+} f(x)=1] et [\lim_{x \rightarrow 1-} f(x)=0]
Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, la fonction n'a donc pas de limite en 1 et f admet une discontinuité. En chaque entier relatif, on a une discontinuité. Donc f est continue sur chaque intervalle [n,n+1[ où n est un entier relatif.
Donc la fonction partie entière n'est pas continue.
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Conséquences de la continuité
Théorème des valeurs intermédiaires
Énoncé : Soit une fonction f continue sur un intervalle [a,b]. Pour tout réel compris entre et , il existe au moins un réel de l’intervalle tel que . De cette façon, l’équation possède au moins une solution appartenant à .
Théorème de la bijection
Énoncé : Soit une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle [a,b]. Pour tout réel compris entre et , il existe un unique réel de l’intervalle tel que .
Exercice : Prenons la fonction [f(x)=x^{3}-3times x +1] et montrons que l'équation f(x)=0 admet exactement 3 solutions.
La fonction admet pour dérivée [f'(x)=3times x^{2} -3]
On cherche à connaître le signe de f'(x). On détermine f'(x)=0 [x^{2} =\frac{3}{3}=1]
Donc f'(x)=0 admet deux solutions, x=1 et x=-1.
Donc f est strictement croissante sur []-\infty,-1[cup]1,+\infty[] et f est strictement décroissante sur ]-1,1[.
Comme f(1)=-1 et f(-1)=3, on obtient la tableau de variation suivant :
0 appartient à []-\infty,3[] et f continue et strictement croissante sur []-\infty,-1[] donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur []-\infty,-1[]
0 appartient à []-1,3[] et f continue et strictement décroissante sur []-1,1[] donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur []-1,1[]
0 appartient à []-1,+\infty[] et f continue et strictement croissante sur []1,+\infty[] donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur []1,+\infty[]
Finalement, l'équation f(x)=0 admet exactement 3 solutions sur R.
Prolongement par continuité
Soit un intervalle I. Soit f une fonction définie sur I{a}, où a est un point de l'intervalle I. Si la limite de f en a est "l" alors f est prolongeable par continuité. On note son prolongement [widehat{f}=\begin{cases}f(x) &si& x neq al &si& x = a\end{cases}]
Étudions la fonction f définie par [f(x)=\frac{sin x}{x}]
L'ensemble de définition de f est Df = R*=R{0}
Au voisinage de 0 nous trouvons une forme indéterminée : 0/0
On lève l'indétermination en appliquant la règle de l’hôpital, applicable aux formes indéterminées du type [\frac{0}{0}] et [\frac{\infty}{\infty}]
On obtient :
[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin x}{x}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(sin x)'}{(x)'}=\lim_{x \rightarrow 0} cos x=1]
Ainsi, f(x) admet une limite en 0. Donc on peut prolonger f par continuité en posant :
[widehat{f}=\begin{cases}\frac{sin x}{x} &si& x neq 01 &si& x = 0\end{cases}]
Il existe beaucoup d'autres fonctions non définis en un point, mais toutes ne sont pas prolongeables par continuité. Par exemple, la fonction [\frac{1}{x}] n'est pas prolongeable par continuité. En effet, la fonction est continue sur R* mais la limite en 0 n'existe pas.
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est-ce que vous pourriez faire svp un exemple d’exercice d’une fonction qui est ou non continue avec un intervalle pour voir les démarches qu’il faut faire avec les 3 conditions de continuité d’une fonction
merci et merci pour votre aide
Bonsoir, juste une petite remarque sur le deuxième graphe qui n’est pas le graphe d’une fonction donc difficile de parler de fonction continue. Une petite erreur 😉 Merci à vous pour ce partage.
Merci à vous pour votre attention ! 🙂